600000000<1

Cho mình xin cách làm đi

Nó là định lí Bézout đấy bạn ^^

Định lí Bézout : Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x - a là một hằng số bằng f(a)

Chứng minh : Theo định lí cơ bản ta có : f(x) = ( x - a ).P(x) + R(x) (1)

Ở đây, g(x) = x - a có bậc là bậc nhất mà bậc của dư R(x) phải nhỏ hơn bậc của g(x), vậy R(x) phải là một hằng số, thay x = a trong đẳng thức (1) ta có : f(a) = ( a - a ).P(a) + R => R = f(a)

Hệ quả : Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a

Ta dùng hệ quả của định lí Bézout để phân tích đa thức thành nhân tử khi đã biết một nghiệm

\(p=\left(x-1\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)+2075\)

\(=\left(x^2+6x-7\right)\left(x^2+6x+8\right)+2075\)

\(=\left(x^2+6x+2-9\right)\left(x^2+6x+2+6\right)+2075\)

\(=\left(x^2+6x+2\right)^2-3\left(x^2+6x+2\right)+2021\)

\(\Rightarrow p\) chia q dư \(2021\)

Bài 1.

3x² + 2 có bậc thấp hơn x³ + 1 nên không thể chia tiếp

Vậy x³ + 3x² + 3 = 1( x³ + 1 ) + 3x² + 2

Bài 2.

Ta có : x³ + 3x² + 3x + a có bậc là 3

x + 2 có bậc là 1

=> Thương bậc 2

lại có hệ số cao nhất của đa thức bị chia là 1

Đặt đa thức thương là x² + bx + c

khi đó : x³ + 3x² + 3x + a chia hết cho x + 2

<=> x³ + 3x² + 3x + a = ( x + 2 )( x² + bx + c )

<=> x³ + 3x² + 3x + a = x³ + bx² + cx + 2x² + 2bx + 2c

<=> x³ + 3x² + 3x + a = x³ + ( b + 2 )x² + ( c + 2b )x + 2c

Đồng nhất hệ số ta được :

\(\hept{\begin{cases}b+2=3\\c+2b=3\\2c=a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\c=1\\a=2\end{cases}}\Rightarrow a=2\)

Vậy a = 2

Lời giải:
$f(x)=x^{2009}+x^{2008}+1$

$=(x^{2009}-x^2)+(x^{2008}-x)+(x^2+x+1)$

$=x^2(x^{2007}-1)+x(x^{2007}-1)+(x^2+x+1)$

$=x^2[(x^3)^{669}-1]+x[(x^3)^{669}-1]+(x^2+x+1)$
$=x^2(x^3-1)[(x^3)^{668}+....+1]+x(x^3-1)[(x^3)^{668}+...+1]+(x^2+x+1)$

$=x^2(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{668}+....+1]+x(x-1)(x^2+x+1)[(x^3)^{668}+...+1]+(x^2+x+1)$

$=x^2(x-1)(x^2+x+1)A(x)+x(x-1)(x^2+x+1)A(x)+(x^2+x+1)$
$=(x^2+x+1)[x^2(x-1)A(x)+x(x-1)A(x)+1]\vdots x^2+x+1$

a) \(\begin{array}{l}P(x) = {x^2}({x^2} + x + 1) - 3x(x - a) + \dfrac{1}{4} = {x^4} + {x^3} + {x^2} - 3{x^2} + 3ax + \dfrac{1}{4}\\ = {x^4} + {x^3} - 2{x^2} + 3ax + \dfrac{1}{4}\end{array}\).

b) Các hệ số có trong đa thức P(x) là: 1; 1; – 2; 3a; \(\dfrac{1}{4}\).

Tổng các hệ số bằng \(\dfrac{5}{2}\)hay:

\(\begin{array}{l}1 + 1 - 2 + 3a + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{2}\\ \to 3a = \dfrac{9}{4}\\ \to a = \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Vậy \(a = \dfrac{3}{4}\).

\(P=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x+7\right)+2069\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+7\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)+2069\)

\(=\left(x^2+6x-7\right)\left(x^2+6x+8\right)+2069\)

\(=\left(x^2+6x+2-9\right)\left(x^2+6x+2+6\right)+2069\)

Mà \(x^2+6x+2=Q\)

\(=>P=\left(Q-9\right)\left(Q+6\right)+2069=Q^2-3Q-54+2069\)

\(=Q^2-3Q+2015=Q\left(Q-3\right)+2015\)

Dễ thấy \(Q\left(Q-3\right)=BS\left(Q\right)\)

\(=>P\)chia Q có số dư là 2015

Vậy................