\(x^2-2x+2=x^2-2x+1+1=\left(x-1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

Ta có: \(x^2-2x+2\)

\(=x^2-2x+1+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+1>0\forall x\)

a) `P=x^2-4x+5`

`=(x^2-4x+4)+1`

`=(x^2-2.x.2+2^2)+1`

`=(x-2)^2+1`

Vì `(x-2)^2 >=0 ` nên `(x-2)^2+1 >=1 >0` với mọi `x`

`<=> (x-2)^2+1 >0` với mọi `x`

Vậy ta có điều phải chứng minh.

``

b) `P=x^2-2x+2`

`=(x^2-2x+1)+1`

`=(x^2-2.x.1+1^2)+1`

`=(x-1)^2+1`

Vì `(x-1)^2 >=0` với mọi `x`

`=>(x-1)^2+1 >=1 >0` với mọi `x`

`<=> (x-1)^2+1 >0` với mọi `x`

Vậy ta có điều phải chứng minh.

\(a,P=x^2-4x+5\)

\(=x^2-2.x.2+4+1\)

\(=\left(x-2\right)^2+1\)

Vì \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\) mà \(1>0\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2+1>0\forall x\)

Vậy đa thức \(P\) luôn luôn lớn hơn 0 \(\forall x\)

_____________________________________

\(b,P=x^2-2x+2\)

\(=x^2-2.x.1+1+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+1\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\) mà \(1>0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+1>0\forall x\)

Vậy đa thức \(P\) luôn luôn lớn hơn 0 \(\forall x\)

\(P=x^2-2x+2\)

\(P=x^2-2x+1+1\)

\(P=\left(x-1\right)^2+1\)

Ta thấy \(\left(x-1\right)^2\ge0\)nên \(\left(x-1\right)^2+1>0\)

Ta có:

\(P=x^2-2x+2\)

\(=\left(x^2-2x+1\right)+1\)

\(=\left(x-1\right)^2+1\)

Vì  \(\left(x-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+1>0\forall x\)

\(P=\left(x^2-10x+25\right)+6=\left(x-5\right)^2+6\ge6>0,\forall x\left(đpcm\right)\)

\(P=\left(x-5\right)^2+6>0\)

\(\left(1\right)\)Tại x=-1, ta có: \(P=3x^2+5=3\left(-1\right)^2+5=3+5=8\)

Tại x=0, ta có: \(P=3x^2+5=3.0^2+5=0+5=5\)

Tại x=3, ta có: \(P=3x^2+5=3.3^2+5=3.9+5=27+5=32\)

(2) Ta có: \(P=3x^2+5\)mà  \(x^2\ge0\)với mọi x => 3x^2 \(\ge\)0 với mọi x 

Lại có 5 dương => P \(\ge\)0 hay đa thức P luôn dương với mọi giá trị của x

Ta có

A=(x^2+1).[(x^2+1)^3+21(x^2+1)^2+9(x^2+1)-1]-30

Trong đó với mọi x:

x^2+1>=1,

(x^2+1)^3>=1,

21(x^2+1)^2>=21,

9(x^2+1)>=9

Nên

(x^2+1).[(x^2+1)^3+21(x^2+1)^2+9(x^2+1)-1]>=30

Tương đương

A=(x^2+1).[(x^2+1)^3+21(x^2+1)^2+9(x^2+1)-1]-30>=0 (đpcm)

Bài 1.

( 1 - 3x )( x + 2 )

= 1( x + 2 ) - 3x( x + 2 )

= x + 2 - 3x² - 6x 

= -3x² - 5x + 2

= -3( x² + 5/3x + 25/36 ) + 49/12

= -3( x + 5/6 )² + 49/12 ≤ 49/12 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 5/6 = 0 => x = -5/6

Vậy GTLN của biểu thức = 49/12 <=> x = -5/6

Bài 2.

A = x² + 2x + 7

= ( x² + 2x + 1 ) + 6

= ( x + 1 )² + 6 ≥ 6 > 0 ∀ x

=> A vô nghiệm ( > 0 mà :)) )

Bài 3.

M = x² + 2x + 7

= ( x² + 2x + 1 ) + 6

= ( x + 1 )² + 6 ≥ 6 > 0 ∀ x

=> đpcm

Bài 4.

A = -x² + 18x - 81

= -( x² - 18x + 81 )

= -( x - 9 )² ≤ 0 ∀ x 

=> đpcm 

Bài 5. ( sửa thành luôn không dương nhé ;-; )

F = -x² - 4x - 5

= -( x² + 4x + 4 ) - 1

= -( x + 2 )² - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x

=> đpcm 

Bài 2 

Ta có A = x² + 2x + 7 = (x² + 2x + 1) + 6 = (x + 1)² + 6\(\ge\)6 > 0

Đa thức A vô nghiệm

Bại 3: Ta có M = x² + 2x + 7 = (x² + 2x + 1) + 6 = (x + 1)² + 6\(\ge\)6 > 0 (đpcm)

Bài 4 Ta có A = -x² + 18x - 81 = -(x² - 18x + 81) = -(x - 9)² \(\le0\)(đpcm)

Bài 5 Ta có F = -x² - 4x - 5 = -(x² + 4x + 5) = -(x² + 4x + 4) - 1 = -(x + 2)² - 1 \(\le\)-1 < 0 (đpcm)

a) \(a^2-6a+10=\left(a^2-6a+9\right)+1=\left(a-3\right)^2+1\ge1\left(\forall a\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = 3

b) \(4a^4-4a^3+a^2=a^2\left(4a^2-4a+1\right)=\left[a\left(2a-1\right)\right]^2\ge0\left(\forall a\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\orbr{\begin{cases}a=0\\a=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

c) \(x^3+y^3=\frac{1}{3}\left(3x^3+3y^3\right)\)

\(=\frac{1}{3}\left[\left(x^3+x^3+y^3\right)+\left(x^3+y^3+y^3\right)\right]\ge\frac{1}{3}\left(3x^2y+3xy^2\right)=x^2y+xy^2\) (Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y

a) \(x^2+x+1=x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)

c) \(C=4x-10-x^2=-\left(x^2-4x+10\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2+6\right]\)

\(=-\left(x^2-4x+4+6\right)=-\left[\left(x-2\right)^2\right]-6\le-6< 0\forall x\)