+, Nếu p khác 3 thì p ko chia hết cho 3

=> p^2 chia 3 dư 1

=> p^2+2 chia hết cho 3

Mà p^2+2 > 3 => p^2+2 là hợp số 

=> ko t/m

=> p = 3

=> p^3+2 = 3^3+2 = 29 là số nguyên tố

=> ĐPCM

Tk mk nha

*) \(p=2\) thì \(p^2+2=6\) ( loại vì 6 không phải là số nguyên tố 

*) \(p=3\) thì \(p^2+2=11\) ( chọn vì 11 là số nguyên tố )

\(\Rightarrow\)\(p^3+2=3^3+2=29\) ( là số nguyên tố )

*) \(p>3\)

Vì \(p\) là số nguyên tố \(\Rightarrow\)\(p\)không chia hết cho 3 ( 1 )

\(p\inℤ\)\(\Rightarrow\)\(p^2\) là số chính phương ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : \(p^2\) : 3 dư 1 

\(\Rightarrow p^2+2⋮3\)( 3 )

Mặt khác \(p>3\)

\(\Rightarrow p^2>9\)

\(\Rightarrow p^2+2>11\)( 4 )

Từ ( 3 ) và ( 4 ) suy ra : \(p^2+2\)không là số nguyên tố ( trái với đề bài )

Bài 4:

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P là số lẻ

hay P-1 và P+1 là các số chẵn

\(\Leftrightarrow\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)

Vì P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P=3k+1(k∈N) hoặc P=3k+2(k∈N)

Thay P=3k+1 vào (P-1)(P+1), ta được:

\(\left(3k-1+1\right)\left(3k+1+1\right)=3k\cdot\left(3k+2\right)⋮3\)(1)

Thay P=3k+2 vào (P-1)(P+1), ta được:

\(\left(3k+2-1\right)\left(3k+2+1\right)=\left(3k+1\right)\left(3k+3\right)⋮3\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮3\)

mà \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮8\)

và (3;8)=1

nên \(\left(P-1\right)\left(P+1\right)⋮24\)(đpcm)