\(a,\sqrt{22-12\sqrt{2}}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}=\sqrt{\left(3\sqrt{2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)^2}\\ =3\sqrt{2}-2+2+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\\ b,\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-n-1}\\ =\dfrac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{-1}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

a) \(\sqrt{22-12\sqrt{2}}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}\)

\(=\sqrt{\left(3\sqrt{2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(2+\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=3\sqrt{2}-2+2+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)

b) \(\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

a, Xét các dạng của n khi chia cho 2: n = 2k; n = 2k+1(k ∈ N)

+) Nếu n = 2k

(n+2)(n+5) = (2k+2)(2k+5) = 2(2k+1)(2k+5) ⋮ 2

+) Nếu n = 2k+1

(n+2)(n+5) = (2k+3)(2k+6) = 2(2k+3)(k+3) ⋮ 2

Vậy được điều phải chứng minh.

b, c, Tương tự với các TH: n = 3k; n = 3k+1; n = 3k+2(k ∈ N) 

Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6

n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n+2+n-1)=n(n+1)(n+2)+(n-1)(n+1)n 
ba số liên tiếp thì chia hết cho 2 ; chia hết cho 3 --> tổng trên chia hết cho 6

n(n+1)(2n+1) = n(n+1)(n+2+n-1)=n(n+1)(n+2)+(n-1)(n+1)n 
ba số liên tiếp thì chia hết cho 2 ; chia hết cho 3 --> tổng trên chia hết cho 6

Ta có n ; n+1 ; n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

Vì trong 3 số tự nhiên liên tiếp , có ít nhất 1 số chia hết cho 2

\(\Rightarrow\) n(n+1)(n+2) \(⋮\) 2 (1)

Vì trong 3 số tự nhiên liên tiếp , có 1 số chia hết cho 3

\(\Rightarrow\) n(n+1)(n+2) \(⋮\) 3 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) n(n+1)(n+2) \(⋮\) (2.3) ( Vì ƯCLN(2,3)=1 )

                      \(\Rightarrow\) n(n+1)(n+2) \(⋮\) 6   (ĐPCM)

Vậy...

Ta có n ; n+1 ; n+2 là 3 số tự nhiên liên tiếp

Vì trong 3 số tự nhiên liên tiếp , có ít nhất 1 số chia hết cho 2

$\Rightarrow$ n(n+1)(n+2) $⋮$ 2 (1)

Vì trong 3 số tự nhiên liên tiếp , có 1 số chia hết cho 3

$\Rightarrow$ n(n+1)(n+2) $⋮$ 3 (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ n(n+1)(n+2) $⋮$ (2.3) ( Vì ƯCLN(2,3)=1 )

                      $\Rightarrow$ n(n+1)(n+2) $⋮$ 6   (ĐPCM)

\(\left(n-1\right)^2\cdot\left(n+1\right)+\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n-1\right)+\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n-1+1\right)\)

\(=n\cdot\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n; n-1; n+1 là 3 số nguyên liên tiếp

=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮3\)         (1)

Vì n; n-1 là 2 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)⋮2\)

\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮2\)        (2)

Từ (1) và (2)

=>\(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)

Hay \(\left(n-1\right)^2\cdot\left(n+1\right)+\left(n^2-1\right)⋮6\) 

Vậy....

cần gấp ạ

\(B=n^2\left(n+2\right)+n\left(n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n;n+1;n+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3!\)

hay \(B⋮6\)

\(\left(n-1\right)^2\cdot\left(n+1\right)+\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-1+1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\cdot n\cdot\left(n+1\right)⋮6\)

A=1/4^2+1/6^2+...+1/(2n)^2

=1/4(1/2^2+1/3^2+...+1/n^2)

=>A<1/4(1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1-1/n)

=>A<1/4(1-1/n)<1/4