TH1 : a<b

\(\Rightarrow am< bm\)

\(\Rightarrow ab+am< ab+bm\Rightarrow a\left(b+m\right)< b\left(a+m\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\)

TH2 : a=b

\(\Rightarrow am=bm\)

\(\Rightarrow ab+am=ab+bm\Rightarrow a\left(b+m\right)=b\left(a+m\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a+m}{b+m}\)

TH1 : a>b

\(\Rightarrow am>bm\)

\(\Rightarrow ab+am>ab+bm\Rightarrow a\left(b+m\right)>b\left(a+m\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)

Vậy ... ( có 3 trường hợp )

 Trường hợp a cũng là nguyên duơng 
Xét a<b và a>b. 
Xét a<b trước, ta có: 
1-a/b=(b-a)/a..............(1) 
1-(a+1)/(b+1)=(b+1-a-1)/(b+1)=(b-a/(b+1... 
Từ (1) và (2) ta thấy: (b-a)/a<(b-a)/(b+1) (vì hai phân số có cùng tử phân số nào mẫu lớn thì phân số đó nhỏ hơn). Mà (b-a)/a>(b-a)/(b+1) =>((a+1)/(b+1)<a/b 

Xét a>b, ta đặt a=b+m=>a+n=b+m+n 
vậy: a/b=(b+m)/b= 1+m/b.....(3) 
(a+n)/(b+n)=(b+m+n)/(b+n)=(b+n+m)/(b+n)... 
So sánh (3) và (4) cho ta a/b<(a+n)/(b+n) 

Nếu a là nguyên âm thì bạn có trừong hợp ngược lại 
Nếu a=0 thì a/b=0 khi đó (a+1)/(b+1)=1/(b+1) >0=a/b 
Tuơng tự khi a=0 thì (a+n)/b+n)=n/(b+n)>a/b

Ta xét 3 trường hợp a/b=1; a/b<1; a/b>1

+ trường hợp a/b= 1 nền a=b thi a+b/b+m= a/b=1.

+ trường hợp a/b<1 nên a<b nen a+b< b+m

     a+m/b+mco "phan bu" toi 1 la b-a/b+m

     a/b có "phần bù" tới 1 là b-a/b, vì b-a/ b+m< b-a/b nên a+m/b+m>a/b

+ trường hợp a/b> 1 nên a>b nên a+m >b+m

     a+m/ b+m co "phan thừa" so với 1  la a-b/ b+m

     a/b có "phần thừa " so với 1 là a-b/m, vì a-b/b+m< a-b/b nên a+m/b+b<a/b

a+m/b+m > a/b

ta xét 3 trường hợp\(\frac{a}{b}\)= 1 ; \(\frac{a}{b}\)< 1 ; \(\frac{a}{b}\)> 1

+ trương hợp \(\frac{a}{b}\)= 1 nên a = b thì \(\frac{a+b}{b+m}\)= \(\frac{a}{b}\)= 1

+ trường hợp \(\frac{a}{b}\)< 1 nên a < b nên a + b < b + m

còn lại tự làm nhé

                  Giải

Xét 3 tường hợp : \(\frac{a}{b}=1;\frac{a}{b}>1;\frac{a}{b}< 1\)

\(TH1:\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)

\(\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}=\frac{b\left(a=b\right)+m}{b+m}=1\)

\(\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}=\frac{a}{b}\)

\(TH2:\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow a>b\)

Ta có : \(b\left(a+m\right)< a\left(b+m\right)\) ( tích chéo )

\(\Leftrightarrow ab+bm< ab+am\)

\(\Leftrightarrow bm< am\)( luôn đúng )

\(\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}< \frac{a}{b}\)

\(TH3:\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow a< b\)

Ta có : \(b\left(a+m\right)>a\left(b+m\right)\) ( tích chéo )

\(\Leftrightarrow ab+bm>ab+am\)

​\(\Leftrightarrow bm>am\)​( luôn đúng )

\\(\Rightarrow\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}>1\)

\(\Rightarrow a>b\)

\(\Rightarrow am>bm\)

\(\Rightarrow am+ab>bm+ab\)

\(\Rightarrow a\left(m+b\right)>b\left(a+m\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\)

a+m/b+m  =  a/b

TrTrịnh dinh anh tuan sai roi

a/b<a+m/b+m 

a/b lon hon k nha