Tứ giác ẠBMN có hai đường chéo vuông góc.

Ta có: S A B M N = 1/2 AM.BN

∆ ABM và  ∆ AMC có chung chiều cao kể từ A, cạnh đáy BM = MC nên: S A B M  =  S A M C  = 1/2 S A B C

∆ MNA và  ∆ MNC có chung chiều cao kê từ M, cạnh đáy AN = NC nên:  S M A N  =  S M N C  = 1/2  S A M C  = 1/4  S A B C

S A B M N  =  S A B M  +  S M N A  = 1/2  S A B C  + 1/4  S A B C  = 3/4  S A B C

Vậy  S A B C  = 4/3  S A B M N  = 4/3 .1/2 .AM.BN = 2/3 AM.BN

a)

Có 2 trung tuyến BN, CM cắt nhau suy ra \(BN\perp AM\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \(BG=\dfrac{2}{3}BN=\dfrac{2}{3}.4=\dfrac{8}{3}\left(cm\right)\)

Trong tam giác ABN vuông tại A, đường cao AG, ta có:

\(AB^2=BG.BN\) (hệ thức lượng)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{\dfrac{8}{3}.4}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\left(cm\right)\)

Tam giác ABN vuông tại A

\(\Rightarrow AN^2=BN^2-AB^2\\ \Rightarrow AN=\sqrt{4^2-\left(\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

Mà N là trung điểm AC => AC = \(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

Áp dụng đl pytago vào tam giác ABC: 

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2}=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Thừa dữ kiện AM = 3cm, bạn coi kỹ đề đủ/ đúng hết chưa thì cmt để chút mình coi lại bài giải