Question

Tam giác ABC có hai trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh AM và BN

A.  S A B C   =   A M . B N

B.  S A B C   = 3 2 A M . B N

C.  S A B C   = 1 2 A M . B N

D.  S A B C   = 2 3 A M . B N

Answer 1

Ta có ABMN là tứ giác có hai đường chéo AM và BN vuông góc

nên có diện tích là: S_ABMN = 1 2 AB.MN

Hai tam giác AMC và ABC có chung đường cao hạ từ A

nên S A M C S A B C = M C B C = 1 2

=> S_AMC =  1 2 S_ABC (1)

Hai tam giác AMN và AMC có chung đường cao hạ từ M

nên S A M N S A M C = A N A C = 1 2

=> S_AMB =  1 2 S_ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_AMN = 1 4 S_ABC

Hai tam giác AMB và ABC có chung đường cao hạ từ A

nên S A M B S A B C = B M B C = 1 2

=> S_AMB =  1 2 S_ABC

Ta có: S_ABMN = S_AMN + S_ABM

=  1 4 S_ABC + 1 2 S_ABC = 3 4 S_ABC

=> S_ABC = 4 3 S_ABMN =  4 3 .AM. 1 2 BN = 2 3 AM.BN

Đáp án cần chọn là: D