CMR: Nếu a, b,c là 3 số thỏa mãn: \(a+b+c=2013\) và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2013}\) thì 1 trong 3 số phải có 1 số bằng 2013
chứng minh rằng : nếu 3 số a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=2000\) và \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2000}\) thì 1 trong 3 số phải có 1 số bằng \(2000\)
ĐKXĐ : a;b;c \(\ne0\)
Ta có : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2000}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}-\dfrac{1}{a}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b+c}{bc}=\dfrac{-\left(b+c\right)}{a\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{a\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right).\dfrac{a\left(a+b+c\right)+bc}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right).\dfrac{a^2+ab+ac+bc}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{abc\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b+c=0\\a+b=0\\a+c=0\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
Từ (1) kết hợp a + b + c = 2000 ta được điều phải chứng minh
CMR nếu a,b,c là 3 số thõ mãn a+b+c=2013 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2013}\) thì 1 trong 3 số đó phải bằng 2013
Bạn nhân a+b+c và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)lại với nhau rồi trừ 1 ở mỗi vế, phân tích mẫu ra sẽ đc(a+b)(b+c)(c+a)=0
Nhân các vế a +b +c và
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
~Study well~ :)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a + b +c = 2013 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/2013 thì phải có một trong ba số bằng 2013
Cho a,b c là các số dương và a+b+c=3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\dfrac{a^{2014}+2013}{b^2+1}+\dfrac{b^{2014}+2013}{c^2+1}+\dfrac{c^{2014}+2013}{a^2+1}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^{2014}+\underbrace{1+1+....+1}_{1006}\geq 1007\sqrt[1007]{a^{2014}}=1007a^2\)
\(\Leftrightarrow a^{2014}+1006\geq 1007a^2\)
\(\Rightarrow a^{2014}+2013\geq 1007(a^2+1)\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2014}+2013}{b^2+1}\geq \frac{1007(a^2+1)}{b^2+1}\). Hoàn toàn TT với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
\(A\geq 1007\left(\frac{a^2+1}{b^2+1}+\frac{b^2+1}{c^2+1}+\frac{c^2+1}{a^2+1}\right)\)
\(\geq 1007.3\sqrt[3]{\frac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)}{(b^2+1)(c^2+1)(a^2+1)}}=3021\) (theo AM-GM)
Vậy \(A_{\min}=3021\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1. Tìm min A=\(\dfrac{a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}}{a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}}\)
\(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^{2012}}=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}}\le\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}}\ge-\dfrac{1}{3}\)
Lại có:
\(a^{2013}+a^{2013}+...+a^{2013}\left(\text{2012 số hạng}\right)+1\ge2013\sqrt[2013]{\left(a^{2013}\right)^{2012}}=2013.a^{2012}\)
\(\Rightarrow2012.a^{2013}+1\ge2013.a^{2012}\)
Tương tự: \(2012.b^{2013}+1\ge2013.b^{2012}\) ; \(2012.c^{2013}+1\ge2013.c^{2012}\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}\ge\dfrac{2013\left(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}\right)-3}{2012}\)
\(\Rightarrow A\ge\dfrac{2013\left(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}\right)-3}{2012\left(a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}\right)}=\dfrac{2013}{2012}-\dfrac{3}{2012}.\dfrac{1}{a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}}\ge\dfrac{2013}{2012}-\dfrac{3}{2012}.\dfrac{1}{3}=1\)
\(A_{min}=1\) khi \(a=b=c=1\)
Chứng minh rằng: Nếu 3 số thực a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c}\) thì trong 3 số đó luôn tồn tại 2 số đối nhau
`1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c)`
`<=>(a+b)/(ab)+(a+b)/(c(a+b+c))=0`
`<=>(a+b)(ab+ac+bc+c^2)=0`
`<=>(a+b)(a+c)(b+c)=0`
`=>` $\left[ \begin{array}{l}a=-b\\b=-c\\c=-a\end{array} \right.$
`=>` PT luôn tồn tại 2 số đối nhau
cho a,b,c là 3 số ≠ 0 thỏa mãn a+b+C=2016 và \(\dfrac{\text{1}}{\text{a}}\)+\(\dfrac{\text{1}}{\text{b}}\)+\(\dfrac{\text{1}}{\text{c}}\)=\(\dfrac{\text{1}}{\text{2016}}\)
CMr: trong ba số a,b,c tồn tại 2 số đối nhau
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2016}\)
\(\Rightarrow\dfrac{bc+ac+bc}{abc}=\dfrac{1}{2016}\)
\(\Rightarrow\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=\dfrac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+3abc=abc\)
\(\Rightarrow ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)+2abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow a=-b\) hay \(b=-c\) hay \(c=-a\)
-Vậy trong ba số a,b,c tồn tại 2 số đối nhau.
Cho ba số a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=2013. Tính giá trị biểu thức :
\(P=\dfrac{2013a^2bc}{ab+2013a+2013}+\dfrac{ab^2c}{bc+b+2013}+\dfrac{abc^2}{ac+c+1}\)
Thay abc=2013 vào P
P= \(\dfrac{abc.a^2bc}{ab+abc.a+abc}\)+\(\dfrac{ab^2c}{bc+b+abc}+\dfrac{abc^2}{ac+c+1}\)
P=\(\dfrac{a^3b^2c^2}{ab\left(1+ac+c\right)}+\dfrac{ab^2c}{b\left(c+1+ac\right)}+\dfrac{abc^2}{ac+c+1}\)
P=\(\dfrac{a^2bc^2}{ac+c+1}+\dfrac{abc}{c+ac+1}+\dfrac{abc^2}{ac+1+c}\)
P=\(\dfrac{a^2bc^2+abc+abc^2}{ac+c+1}\)
P=abc (*)
Thay abc=2013 vào (*)
P=2013
Xét các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc=a+b+c+2\). CMR:
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le \dfrac{3}{4}$$