\(\widehat{C}=130^0;\widehat{D}=110^0\)

Xét tứ giác ABCD có: A+B+C+D=360⇒C+D=240 mà C-D=20

⇒C=( 240+20):2=130

⇒D=110

\(\widehat{D}=140^0\)

Bài 1)

a) Vì A: B:C:D = 1:2:3:4

=> A= B/2 = C/3=D/4

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

A = 36 độ

B= 72 độ

C=108 độ

D= 144 độ

b) Ta có :

A + D = 36 + 144 = 180 độ(1)

B+C = 72 + 108 = 180 độ(2)

Từ (1) và (2) ta có:

=> AB //CD (dpcm)

c) Ta có :

CDE + ADC = 180 độ(kề bù) 

=> CDE = 180 - 144 = 36

Ta có :

BCD + DCE = 180 độ ( kề bù) 

=> DCE = 180 - 108 = 72 

Xét ∆CDE ta có :

CDE + DCE + DEC = 180 (  tổng 3 góc trong ∆)

=> DEC = 180 - 72 - 36 = 72 độ 

Bài 2) 

a) Ta có ABCD có : 

A + B + C + D = 360 độ

Mà C = 80 độ

D= 70 độ

=> A+ B = 360 - 80 - 70 = 210 độ

Ta có AI là pg  góc A 

BI là pg góc B 

=> DAI = BAI = A/2 

=> ABI = CBI = B/2

=> BAI + ABI = A + B /2 

=> BAI + ABI = 210/2 = 105

Xét ∆IAB ta có :

IAB + ABI + AIB = 180 độ

=> AIB = 180 - 105

=> AIB = 75 độ

=> 

baif1: CDE và ADC như nhau mà

Trên cạnh AD bạn lấy điểm E sao cho AE = AB => hai tam giác ACE và ACB bằng nhau (c.g.c)
=> CE = CB (1)
và góc AEC = ABC = 110 độ.
xét tam giác CED có D = 70 độ
theo tính chất góc ngoài AEC = tổng hai góc trong không kề nó. Bạn dễ dàng tính được ECD = 40 độ.
Từ đó có được góc CED = 70 độ
Suy ra tam giác CED cân tại C , tức là CE = CD (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Bài 1) 

Trên AD lấy E sao cho AE = AB 

Xét ∆ACE và ∆ACB ta có : 

AC chung 

DAC = BAC ( AC là phân giác) 

AB = AE (gt)

=> ∆ACE = ∆ACB (c.g.c)

=> CE = CB (1)

=> AEC = ABC = 110°

Mà AEC là góc ngoài trong ∆EDC 

=> AEC = EDC + ECD ( Góc ngoài ∆ bằng tổng 2 góc trong không kề với nó)

=> ECD = 110 - 70 

=> EDC = 40°

Xét ∆ EDC : 

DEC + EDC + ECD = 180 °

=> CED = 180 - 70 - 40 

=> CED = 70° 

=> CED = EDC = 70° 

=> ∆EDC cân tại C 

=> CE = CD (2)

Từ (1) và (2) :

=> CB = CD (dpcm)

b) Ta có thể thay sao cho tổng 2 góc đối trong hình thang phải = 180°

Lời giải:

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^0$ (tổng 4 góc trong 1 tứ giác)

$\Rightarrow \widehat{D}=360^0-(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C})$

$=360^0-(75^0+115^0+100^0)=70^0$

Đáp án A.

tổng 4 góc của tứ giác = 360⁰

vậy ta có:

góc A + góc B + góc C + góc D = 360⁰

  80⁰   +  70⁰   +  110⁰  + góc D = 360⁰

=> góc D = 360⁰  - ( 80⁰   +  70⁰   +  110⁰ ) = 100⁰

vậy góc D = 100⁰

Trong các số tự nhiên phạm vi từ 10 000 đến 100 000 có bao nhiêu số thỏa mãn điều kiện: các chữ số của nó theo thứ tự từ trái sang phải là dãy tăng..

Các ví dụ:

- Số 12348 thỏa mãn điều kiện trên vì 1 < 2 < 3 < 4 < 8;

- Số 22345 không thoả mãn vì chữ số thứ nhất (2) và chữ số thứ hai (2) bằng nhau

- Số 12354 không thỏa mãn vì dãy các chữ số 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 4 không phải là dãy tăng. (5 > 4)

1. Định nghĩa

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là nội tiếp đường tròn)

2. Định lí

Trong một tứ giác nôị tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180⁰

ABCD nội tiếp đường tròn (O)

⇒  

3. Định lí đảo

Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180⁰ thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn

Giải bài 44,45,46, 47,48,49, 50,51,52 trang 86,87 SGK Toán 9 tập 2: Cung chứa góc

B. Hướng dẫn giải bài tập trong SGK Bài Góc nội tiếp Toán 9 tập 2 phần hình học trang 89,90

Bài 53 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Biết ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy điền vào ô trống trong bẳng sau (nếu có thể)
Đáp án và hướng dẫn giải bài 53:

– Trường hợp 1:

Ta có ∠A + ∠C  = 180^o => ∠C = 180^o  – ∠A= 180^o – 80^o = 100^o

∠B + ∠D  = 180^o => ∠D = 180^o  – ∠B= 180^o – 70^o = 110^o

Vậy điểm ∠C =100^o , ∠D = 110^o

– Trường hợp 2:

∠A + ∠C  = 180^o => ∠A = 180^o   – ∠C = 180^o – 105^o = 75^o

∠B + ∠D  = 180^o => ∠B = 180^o  – ∠D= 180^o – 75^o = 105^o

– Trường hợp 3:

∠A + ∠C  = 180^o => ∠C = 180^o   – ∠A = 180^o – 60^o = 120^o

∠B + ∠D  = 180^o => Chẳng hạn chọn ∠B = 70^o  ; ∠D= 110^o

– Trường hợp 4: ∠D =  180^o  – ∠B= 180^o – 40^o = 140^o

Còn lại ∠A + ∠C  = 180^o Chẳng hạn chọn ∠A =  100^o ,∠B = 80^o

–   Trường hợp 5: ∠A = 180^o  – ∠C = 180^o – 74^o = 106^o

∠B = 180^o  – ∠D  = 180^o – 65^o = 115^o

–  Trường hợp 6: ∠C = 180^o  – ∠A = 180^o – 95^o = 85^o

∠CB= 180^o  – ∠D = 180^o – 98^o = 82^o

Vậy điền vào ô trống ta được bảng sau:

Bài 54 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Tứ giác ABCD có ∠ABC + ∠ADC = 180^o. Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 54:

Ta có Tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện bằng 180^o  (∠ABC + ∠ADC = 180^o)nên nội tiếp đường tròn tâm O, ta có

⇒ OA = OB = OC = OD = bán kính (O)

⇒  O thuộc các đường trung trực của AC, BD, AB

Vậy các đường đường trung trực của AB, BD, AB cùng đi qua O.

Bài 55 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn tâm M, biết ∠DAB = 80^o, ∠DAM = 30^o, ∠BMC = 70^o.

Hãy tính số đo các góc ∠MAB, ∠BCM, ∠AMB, ∠DMC, ∠AMD, ∠MCD
và ∠BCD.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 55:

Ta có: ∠MAB=∠DAB – ∠DAM = 80^o – 30^o = 50^o   (1)

– ∆MBC là tam giác cân (MB= MC) nên ∠BCM  =( 180^o – 70^o )/2 = 55^o  (2)

– ∆MAB là tam giác cân (MA=MB) nên ∠MAB = 50^o (theo (1))

Vậy ∠AMB =  180^o – 2. 50^o = 80^o  

∠BAD =1/2 sđBCD (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn)

=> sđBCD = 2 ∠BAD =  2. 80^o = 160^o  

Mà sđBC = ∠BMC = 70^o  (số đo ở tâm bằng số đo cung bị chắn)

Vậy cung DC = 160^o – 70^o = 90^o  (vì C nằm trên cung nhỏ BD)

Suy ra ∠DMC = 90^{o                     (4)}

∆MAD là tam giác cân (MA= MD)

Suy ra ∠AMD = 180^o – 2.30^o = 120^o   (5)

∆MCD là tam giác vuông cân (MC= MD) và  ∠DMC = 90^o

Suy ra ∠MCD = ∠MDC = 45^o  (6)

∠BCD = 100^o   theo (2) và (6) và vì CM là tia nằm giữa hai tia CB, CD.

Bài 56 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Xem hình 47. Hãy tìm số đo các góc của tứ giác ABCD

Đáp án và hướng dẫn giải bài 56:

Tam giác ABF có ∠A + ∠B + ∠F = 180⁰

⇔ ∠A = 180⁰ – ∠B – ∠F

=180⁰ – ∠B -20⁰ = 16⁰ – ∠B (1)

Tam giác ADE có  ∠A + ∠D + ∠E = 1800

⇔ ∠A = 180⁰ – ∠D – ∠E = 180⁰ – ∠D – 40⁰ =140⁰ -∠D (2)

Công (1) và (2) ta có 2∠A = 1600 – ∠B + 140⁰ – ∠D = 300⁰ – (∠B +∠D)

Mà (∠B +∠D) = 180⁰ nên 2∠A =300⁰ – 180⁰ = 1200 ⇔ ∠A =60⁰

Từ (1) ⇒ ∠B = 160⁰ – ∠A = 160⁰ – 60⁰ = 100⁰

Từ (2) ⇒ ∠D = 140⁰ –  ∠A = 140⁰ – 60⁰ = 80⁰

Ngoài ra ∠A + ∠C = 180⁰ nên ∠C = 180⁰ – ∠A = 180⁰ – 60⁰ = 120⁰

Bài 57 trang 89 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được một đường tròn:

Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân ? Vì sao?

Đáp án và Hướng dẫn giải bài 57:

Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không bằng 180^o.Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật (hay hình vuông) thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là 90^o  + 90^o = 180^o

Hình thang nói chung, hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn.

Hình thang cân ABCD (BC= AD) có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau ∠A = ∠B, ∠C = ∠D; mà ∠A + ∠D = 180^o  (hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến AD với AB// CD),suy ra ∠A + ∠C = 180^o . Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng 180^o nên nội tiếp được đường tròn.

Bài 58 trang 90 SGK Toán 9 tập 2 – Hình học

Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho DB = DC và ∠DCB =1/2∠ACB.

a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, D, C.

Đáp án và Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết, ∠DCB = 1/2 ∠ACB  = 1/2. .60^o = 30^o

∠ACD = ∠ACB + ∠BCD (tia CB nằm giữa hai tia CA, CD)

=> ∠ACD = 60^o + 30^o = 90^o  (1)

Do DB = CD nên ∆BDC cân => ∠DBC = ∠DCB =  30^o

Từ đó ∠ABD = 60^o + 30^o = 90^o  (2)

Từ (1) và (2) có ∠ACD + ∠ABD = 180^o nên tứ giác ABDC nội tiếp được.

b) Vì ∠ABD  = 90^o nên ∠ABD là góc nội tiếp chăn nửa đường tròn đường kính AD, tâm O là trung điểm của AD.
Tương tự ∠ACD = 90^o, nên ∠ACD là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD.
Vậy tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn đường kính AD với tâm O là trung điểm của AD.