a: ΔOCD cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của CD

=>IC=ID

b: Xét tứ giác OCAD có

I là trung điểm chung của OA và CD

=>OCAD là hình bình hành

Hình bình hành OCAD có OC=OD

nên OCAD là hình thoi

c: Xét (O) có

ΔBCA nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔBCA vuông tại C

=>BC\(\perp\)CA(1)

CODA là hình thoi

=>DO//AC(2)

Từ (1),(2) suy ra DO\(\perp\)BC

d: OCAD là hình thoi

=>OC=CA=AD=OD

Xét ΔOCA có OC=CA=OA

nên ΔOCA đều

=>\(\widehat{CAO}=60^0\)

Ta có: ΔCBA vuông tại C

=>\(\widehat{CBA}+\widehat{CAB}=90^0\)

=>\(\widehat{CBA}=30^0\)

Xét ΔBCD có

BI là đường cao

BI là đường trung tuyến

Do đó:ΔBCD cân tại B

ΔBCD cân tại B

mà BI là đường cao

nên BI là phân giác của góc CBD

=>\(\widehat{CBD}=2\cdot\widehat{CBI}=2\cdot30^0=60^0\)

Xét ΔBCD cân tại B có \(\widehat{CBD}=60^0\)

nên ΔBCD đều

a) ^EAB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^EAB = 90⁰ hay AE⊥AB

Có AE⊥AB (cmt) và CD⊥AB (gt) nên AE//CD => Cung AC bằng cung DE hay AC = DE (đpcm)

b) ∆AIC và ∆BID vuông tại I nên IA² + IB² + IC² + ID² = (IA² + IC²) + (IB² + ID²) = AC² + BD² = ED² + BD² = BE² (∆EDB có ^EDB = 90⁰ do nó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà BE² = (2R)² = 4R² nên IA² + IB² + IC² + ID² = 4R² (đpcm)

a) ^EAB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^EAB = 90⁰ hay AE⊥AB

Có AE⊥AB (cmt) và CD⊥AB (gt) nên AE//CD => Cung AC bằng cung DE hay AC = DE (đpcm)

b) ∆AIC và ∆BID vuông tại I nên IA² + IB² + IC² + ID² = (IA² + IC²) + (IB² + ID²) = AC² + BD² = ED² + BD² = BE² (∆EDB có ^EDB = 90⁰ do nó là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà BE² = (2R)² = 4R² nên IA² + IB² + IC² + ID² = 4R² (đpcm)

a) Xét (O) có : góc BAE nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

⇒ góc BAE = 90 độ.

⇒ AE vuông góc với AB tại A

Mà CD vuông góc với AB tại I (GT)

⇒AE// CD ( định lí từ vuông góc đến song song)

- Xét (O) có 2 cung AC và ED chắn 2 dây AE//CD.

⇒ cung AC = cung ED

⇒ AC = ED ( theo định lí giữa cung và dây cung )

b) CM được góc BDE = 90 độ

⇒ ED^2 + DB^2 = BE^2

⇒ AC^2 + ( IB^2 + ID^2 ) = ( 2R )^2 . ( vì ED = AC, định lí Pytago cho△BID vuông tại I )

⇒( IA^2 + IC^2 ) + ( IB^2 + ID^2 ) = 4R^2. ( định lí Pytago cho△ AIC vuông tại I )

 ⇒ Đcpcm

a: Xét (O) có

ΔABC nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔABC vuông tại C

Kẻ \(OH⊥DC\Rightarrow HC=HD\) (theo tính chất của dây cung )

Có \(AB=10\Rightarrow OC=OD=R=5\left(cm\right)\)

Mà \(ID=7IC\Rightarrow CD=IC+ID=8IC\Rightarrow HC=HD=4IC\)

Theo giả thiết ta có \(\widehat{HIO}=45^0\Rightarrow\Delta IHO\)vuông cân tại H \(\Rightarrow HI=HO=HC-IC=3IC\)

Xét tam giác AHO có \(OH^2=5^2-HC^2\Rightarrow9IC^2=25-16IC^2\Rightarrow IC^2=1\Rightarrow IC=1\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow ID=7IC=7\left(cm\right)\)

\(IO=\sqrt{IH^2+HO^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Vậy \(IC=1cm;ID=7cm;IO=3\sqrt{2}cm\)

Cho em hỏi là sao IO lại bằng căn của IH^2 + HO^2 ạ

Vì tam giác IHO vuông cân nên theo định lí Pitago ta có \(IO=\sqrt{IH^2+HO^2}\)