Theo đề ra, ta có:

\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^{100}+b^{100}\right).\left(a^{102}+b^{102}\right)=\left(a^{101}+b^{101}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}.\left(a^2+b^2\right)+a^{202}+b^{202}=a^{202}+b^{202}+2a^{101}.b^{101}\)

\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}.\left(a^2+b^2\right)=2a^{101}.b^{101}\)

\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}.\left(a^2+b^2-2ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=0\)

\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)

\(\Rightarrow a^{100}=a^{101}\)

\(\Leftrightarrow a^{100}.\left(a-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(loại\right)\\a=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=a^{2015}+b^{2015}=1+1=2\).

\(Từ:\) \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)

\(\Leftrightarrow a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)

\(và\) \(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

\(\Leftrightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)=0 \left(2\right)\)

\(Từ\left(1\right)\) \(và\) \(\left(2\right)\)

\(\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)-a^{100}\left(a-1\right)-b^{100}\left(b-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{100}\left(a-1\right)^2+b^{100}\left(b-1\right)^2\)

\(Do\) \(a,b>0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=1+1=2\)

em không chắc cho lắm ạ

hình như là bằng 2 thì phải.

Ta có đẳng thức: \(a^{102}+b^{102}=\left(a^{101}+b^{101}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{100}+b^{100}\right)\) với mọi số a,b

Kết hợp với: \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

\(\Rightarrow1=\left(a+b\right)-ab\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\Rightarrow1+b^{100}=1+b^{101}=1+b^{102}\Rightarrow b=1\\b=1\Rightarrow1+a^{100}=1+a^{101}=1+a^{102}\Rightarrow a=1\end{matrix}\right.\)

Do đó: \(P=a^{2014}+b^{2014}=1^{2004}+1^{2005}=2\)

a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = a¹⁰¹ + b¹⁰¹

=>a¹⁰¹-a¹⁰⁰+b¹⁰¹-b¹⁰⁰=0

=>a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)=0      (#)

Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số dương nên:

a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)>0

không đúng với (#).

Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số âm nên:

a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)<0

không đúng với (#).

Nếu a và b có một số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta xét: a1 và b1.

Ta có:

a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)=0

=>a¹⁰⁰(a-1)=b¹⁰⁰(1-b)   (*)

Lại có:

a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰²

=> a¹⁰² –a¹⁰¹+ b¹⁰²-b¹⁰¹=0

=>a¹⁰¹(a-1)+b¹⁰¹(b-1)=0

=>a.a¹⁰⁰(a-1)+b.b¹⁰⁰(b-1)=0

=>a. a¹⁰⁰(a-1)- b.b¹⁰⁰(1-b)=0

=> a. a¹⁰⁰(a-1)- b. a¹⁰⁰(a-1)=0   (do (*) )

=> a¹⁰⁰(a-1)(a-b)=0

=>

=>

Với a=1 thay vào (*) ta được:

0=b¹⁰⁰(b-1)

=>b=1    (vì b>0.)

Với a=b thay vào 1 ta được:

a¹⁰⁰(a-1)=a¹⁰⁰(1-a)  

=>a-1=1-a

=>2a=2

=>a=1 =>b=1

Vậy a=b=1 trong mọi trường hợp.

\(\Rightarrow\)\(P=1^{2014}+1^{2015}=1+1=2\)

a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = a¹⁰¹ + b¹⁰¹

=>a¹⁰¹-a¹⁰⁰+b¹⁰¹-b¹⁰⁰=0

=>a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)=0      (#)

Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số dương nên:

a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)>0

không đúng với (#).

Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều là số âm nên:

a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)<0

không đúng với (#).

Nếu a và b có một số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1. Không mất tính tổng quát ta xét: a1 và b1.

Ta có:

a¹⁰⁰(a-1)+b¹⁰⁰(b-1)=0

=>a¹⁰⁰(a-1)=b¹⁰⁰(1-b)   (*)

Lại có:

a¹⁰¹ + b¹⁰¹ = a¹⁰² + b¹⁰²

=> a¹⁰² –a¹⁰¹+ b¹⁰²-b¹⁰¹=0

=>a¹⁰¹(a-1)+b¹⁰¹(b-1)=0

=>a.a¹⁰⁰(a-1)+b.b¹⁰⁰(b-1)=0

=>a. a¹⁰⁰(a-1)- b.b¹⁰⁰(1-b)=0

=> a. a¹⁰⁰(a-1)- b. a¹⁰⁰(a-1)=0   (do (*) )

=> a¹⁰⁰(a-1)(a-b)=0

=>

=>

Với a=1 thay vào (*) ta được:

0=b¹⁰⁰(b-1)

=>b=1    (vì b>0.)

Với a=b thay vào 1 ta được:

a¹⁰⁰(a-1)=a¹⁰⁰(1-a)  

=>a-1=1-a

=>2a=2

=>a=1 =>b=1

Vậy a=b=1 trong mọi trường hợp.

toán lp 8 mà đem ch hs lp 7 lm

Câu hỏi của I have a crazy idea - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Đã là bồi dưỡng HSG thì em phải chấp nhận làm các bài khó. Cố lên! Em có thể tham khảo thêm :)))

thì lp 7 làm các dạng toán nâng cao,trong đó cx có bài của lp 8,lp 6 mà bn nguyễn hà trâm

Đặt M=a²⁰⁰⁷+b²⁰⁰⁷

Do \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)(1)

\(\Rightarrow\left(a^{101}+b^{101}\right)^2=\left(a^{100}+b^{100}\right)\left(a^{102}+b^{102}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^{202}+b^{202}+2.a^{101}.b^{101}=a^{202}+a^{100}.b^{102}+a^{102}.b^{100}+b^{202}\)

\(\Leftrightarrow2.a^{101}.b^{101}=a^{100}.b^{100}\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^{100}.b^{100}\left(a-b\right)^2=0\)

Do a,b > 0 => (a-b)²=0 <=> a=b

Thay a=b vào (1) ta được

\(2.a^{100}=2.a^{101}=2.a^{102}\)

\(\Leftrightarrow a^{100}=a^{101}\)

\(\Leftrightarrow a^{100}\left(a-1\right)=0\)

Do a>0 nên a=1 =>b=1

Vậy M=1²⁰¹⁷+1²⁰¹⁷=2

đây nhé hơi dài Xem câu hỏi

๖ۣۜᔕᑌᖇᐯIᐯ.IO [TEᗩᗰ ᗩᔕᗰOᗷIᒪE ᗪOᖇᗩYᗩK]

a¹⁰⁰+b¹⁰⁰=a¹⁰¹+b¹⁰¹

=> b¹⁰⁰-b¹⁰¹=a¹⁰¹-a¹⁰⁰

<=> b¹⁰⁰(1-b)=a¹⁰⁰(a-1)  (1)

Lại có: 

a¹⁰¹+b¹⁰¹=a¹⁰²+b¹⁰²

=> b¹⁰¹-b¹⁰²=a¹⁰²-a¹⁰¹

<=> b¹⁰¹(1-b)=a¹⁰¹(a-1)  <=> b¹⁰¹(1-b)=a.a¹⁰⁰(a-1) = a.b¹⁰⁰(1-b) (Do từ (1))

=> b¹⁰¹(1-b)-a.b¹⁰⁰(1-b)=0  => b¹⁰⁰(1-b)(b-a)=0

=> a=b=1

=> P=a²⁰¹⁶+b²⁰¹⁷=1+1=2

Đáp số: P=2

Từ \(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}+a^{102}+b^{102}=2\left(a^{101}+b^{101}\right)\)

\(\Rightarrow a^{100}+b^{100}+a^{102}+b^{102}-2\left(a^{101}+b^{101}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a^{102}-2a^{101}+a^{100}\right)+\left(b^{102}-2b^{101}+b^{100}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(a^{51}-a^{50}\right)^2+\left(b^{51}-b^{50}\right)^2=0\left(1\right)\)

Vif \(\hept{\begin{cases}\left(a^{51}-a^{50}\right)^2\ge0\forall a\\\left(b^{51}-b^{50}\right)^2\ge0\forall b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a^{51}-a^{50}\right)^2+\left(b^{51}-b^{50}\right)^2\ge0\forall a,b\left(2\right)\)

Tứ (1) và (2) :

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^{51}-a^{50}\right)^2=0\\\left(b^{51}-b^{50}\right)^2=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{51}-a^{50}=0\\b^{51}-b^{50}=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^{51}=a^{50}\\b^{51}=b^{50}\end{cases}}\)

Vì a,b là các số thực dương nên \(a=b=1\)

\(\Rightarrow P=a^{2007}+b^{2007}=1^{2007}+1^{2007}=1+1=2\)

Vậy \(P=2\)