a/ \(C=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

b/ Ta có: 

\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)

Vì \(x+y+z⋮6\)

Nên trong 3 số x, y, z có ít nhất 1 số chẵn

\(\Rightarrow3xyz⋮6\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz⋮6\)

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=xy+yz+xz+2xyz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}+2.\frac{(x+y+z)^3}{27}$

$\Leftrightarrow 1\leq \frac{t^2}{3}+\frac{2t^3}{27}$ (đặt $x+y+z=t$)

$\Leftrightarrow 2t^3+9t^2-27\geq 0$

$\Leftrightarrow (t+3)^2(2t-3)\geq 0$

$\Leftrightarrow 2t-3\geq 0$
$\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$ hay $x+y+z\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$

sai đề

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số x;y;z luôn có 2 số cùng phía so với \(\dfrac{1}{2}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử đó là y và z 

\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\left(z-\dfrac{1}{2}\right)\ge0\Leftrightarrow yz-\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)+\dfrac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow y+z-yz\le\dfrac{1}{2}+yz\)

Mặt khác từ giả thiết:

\(1-x^2=y^2+z^2+2xyz\ge2yz+2xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1+x\right)\ge2yz\left(1+x\right)\)

\(\Leftrightarrow1-x\ge2yz\)

\(\Rightarrow yz\le\dfrac{1-x}{2}\)

Do đó:

\(A=yz+x\left(y+z-yz\right)\le yz+x\left(\dfrac{1}{2}+yz\right)=\dfrac{1}{2}x+yz\left(x+1\right)\le\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1-x}{2}\right)\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow A\le-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{5}{8}\le\dfrac{5}{8}\)

\(A_{max}=\dfrac{5}{8}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

\(P=xy+yz+zx-2xyz=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)-2xyz\)

\(P=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+xyz\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị

Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow z\le\dfrac{1}{3}\)

\(P=xy\left(1-2z\right)+z\left(x+y\right)=xy\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)\)

\(P\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)=\dfrac{\left(1-z\right)^2\left(1-2z\right)}{4}+z\left(1-z\right)\)

\(P\le\dfrac{1+z^2-2z^3}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{z.z.\left(1-2z\right)}{4}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{27.4}\left(z+z+1-2z\right)^3=\dfrac{7}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)

Ta có

x²-yz=a

y²-zx=b

z²-xy=c

=>x³-xyz=ax

    y³-xyz=by

    z³-xyz=cz

=> x³+y³+z³-3xyz=ax+by+cz

Lại có

x³+y³+z³-3xyz

=(x+y)³-3x²y-3xy²+z³-3xyz

=[(x+y)³+z³]-3xy(x+y+z)

Áp dụng hằng đẳng thức x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²) ta được:

=(x+y+z)[(x+y)²-z(x+y)+z²]-3xy(x+y+z)

=(x+y+z)(x²+2xy+y²-xz-yz+z²-3xy)

=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)

( Hình như phải Chứng minh ax+by+cz chia hết cho x+y+z chứ nhỉ, nếu ko phải thì cho mik srr nhé, nếu đúng như mình nói thì bạn làm như trên nha)

ak mình nhầm tẹo srr nha, đến chỗ

(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)

Vì x²-yz=a, y²-zx=b, z²- xy=c

=>x²+y²+z²-xy-yz-zx=a+b+c

=>ax+by+cz=(x+y+z)(a+b+c)

=> DPCM

srr nhiều