\(A=\left(a+b+c\right)\left(bc+ac+ab\right)-abc\)

\(=abc+b^2c+bc^2+a^2c+abc+ac^2+a^2b+ab^2+abc-abc\)

= \(\left(b^2c+bc^2\right)+\left(a^2c+a^2b\right)+\left(ac^2+abc\right)+\left(ab^2+abc\right)\)

\(=bc\left(b+c\right)+a^2\left(b+c\right)+ac\left(c+b\right)+ab\left(b+c\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left(bc+a^2+ac+ab\right)\)

\(=\left(b+c\right)\left[a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)\right]\)

\(=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)

-(bc^2-ac^2-b^2c-a^2c+ab^2-a^2b)

Ta có : \(A=ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)\)

\(\Rightarrow A=ab(a-b)-bc(c-b)+ac(c-a)\)

\(\Rightarrow A=ab(a-b)-bc[(c-a)+(a-b)]+ac(c-a)\)

\(\Rightarrow A=ab(a-b)-bc(a-b)-bc(c-a)+ac(c-a)\)

\(\Rightarrow A=(a-b)(ab-bc)+(c-a)(ac-bc)\)

\(\Rightarrow A=b(a-b)(a-c)-(a-c)c(a-b)\)

\(\Rightarrow A=(a-c)(a-b)(b-c)\)

Chúc học tốt trong kì thi tới :>

\(ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ca\left(c-a\right)=ab\left(a-b\right)+b^2c-bc^2+c^2a-ca^2\)

\(=ab\left(a-b\right)-\left(ca^2-b^2c\right)+\left(c^2a-bc^2\right)=ab\left(a-b\right)-c\left(a+b\right)\left(a-b\right)+c^2\left(a-b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(ab-ca-cb+c^2\right)=\left(a-b\right)\left[\left(ab-ca\right)-\left(cb-c^2\right)\right]\)

\(=\left(a-b\right)\left[a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)\right]=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)

a) 
(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc 

nhân vô rồi rút gọn đươc: 

(a^2.b+2abc+c^2.b) +(a^2.c+c^2.a)+(a.b^2+b^2.c) 

=b(a+c)^2 +ac(a+c)+ b^2(a+c)  

=(a+c)(b(a+c)+ac+b^2) 

=(a+c)(ab+b^2+bc+ac) 

=(a+c)(b(a+b)+c(a+b)) 

=(a+c)(a+b)(b+c) 

bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b) = b²c + bc² + c²a - ca² - ab(a + b) = (b²c - a²c) + (bc² + ac²) - ab(a + b)

= c(b - a)(b + a) + c²(b + a) - ab(a + b) = (a + b)[c(b - a) + c² - ab] = (a + b)[(cb - ab) + (c² - ca)]

= (a + b)[b(c - a) + c(c - a)] = (a + b)(b + c)(c - a)

Phương pháp : xét giá trị riêng

ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)   (*)

Nhận thấy vai trò của a,b,c như nhau nên thay a= - b ta đc:

\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

=\(\left(-b+b+c\right)\left(-b.b+bc-b.c\right)+b.b+c\)

=\(c.\left(-b^2\right)+b^2.c\)

=0

Suy ra (*) chia hết cho a+b. Mà vai trò của a,b,c như nhau nên (*) chia hết cho (b+c) và (c+a)

=>\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)-abc\)

=\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right).k\)  (**)

ta cho các biến nhận giá trị riêng, chẳng hạn: a=1 ; b=2 ; c=3 thây vào (*) ta đc:

\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

=(1+2+3)(1.2+2.3+3.1)-1.2.3=60      (1)

Mặt khác thay a=1 ; b=2 ; c=3 vào (**)ta đc:

\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

=(1+2)(2+3)(3+1).k=60.k       (2)

từ (1),(2)=> k=60:60=1

Vậy \(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

nếu đúng thì k cho mk nha bn!

(a+b)(b+c)(c+a)  (Hằng đẳng thức mở rộng)

a b<a+b> <a-b> +  bc < b - c> < b + c >+ ca < c - a > < c + a>

a² b+ ab² + a² b - ab²  + b² c -bc²  +b² c + bc²  + c² a -ca²  + c² a +ca² 

<a² b +a² b> + < ab² - ab² > + < b²c + b² c > + <-bc² + bc² > + < c² a +c² a> + <-ca² + ca² >

2 a² b + 2 b² c +2 c² a

XONG NHA NGƯỜI ANH EM