\(a,\) Vì M là trung điểm AC và BD nên ABCD là hình bình hành

\(b,\) Vì ABCD là hình bình hành nên \(AD//BC;AD=BC\)

Do đó \(AK//CH;AK=CH(\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC)\)

Do đó AHCK là hình bình hành

Mà \(\Delta ABC\) cân tại A nên trung tuyến AH cũng là đường cao

Do đó \(AH\bot HC\)

Vậy AHCK là hình chữ nhật

\(c,\) Vì AHCK là hình chữ nhật nên trung điểm M của AC cũng là trung điểm của HK

Vậy H,M,K thẳng hàng

\(d,\) Để AHCK là hình vuông thì \(HK\bot AC\) tại M

Mà H,K là trung điểm BC,AC nên HK là đtb \(\Delta ABC\)

Do đó \(HK//AB\)

Mà \(HK\bot AC\) nên \(AC\bot AB\)

Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì AHCK là hình vuông

a) Xét ΔABC có

K là trung điểm của AB(gt)

I là trung điểm của AC(gt)

Do đó: KI là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

nên KI//BC và \(KI=\dfrac{BC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Xét tứ giác BKIC có KI//BC(cmt)

nên BKIC là hình thang có hai đáy là KI và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang BKIC(KI//BC) có \(\widehat{KBC}=\widehat{ICB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên BKIC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

b) Xét ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC(gt)

nên AM là đường cao ứng với cạnh đáy BC(Định lí tam giác cân)

\(\Leftrightarrow AM\perp BC\)

hay \(\widehat{AMC}=90^0\)

Xét tứ giác AMCN có 

I là trung điểm của đường chéo AC(gt)

I là trung điểm của đường chéo MN(M và N đối xứng nhau qua I)

Do đó: AMCN là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Hình bình hành AMCN có \(\widehat{AMC}=90^0\)(cmt)

nên AMCN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

c) Ta có: AMCN là hình chữ nhật(cmt)

nên AN//MC và AN=MC(Hai cạnh đối trong hình chữ nhật AMCN)

mà B\(\in\)MC và MB=MC(M là trung điểm của BC)

nên AN//BM và AN=BM

Xét tứ giác ANMB có

AN//BM(cmt)

AN=BM(cmt)

Do đó: ANMB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

nên Hai đường chéo AM và BN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)(1)

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của AB(gt)

M là trung điểm của BC(Gt)

Do đó: KM là đường trung bình của ΔABC(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

nên KM//AC và \(KM=\dfrac{AC}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà I\(\in\)AC và \(AI=\dfrac{AC}{2}\)(I là trung điểm của AC)

nên KM//AI và KM=AI

Xét tứ giác AIMK có

KM//AI(cmt)

KM=AI(cmt)

Do đó: AIMK là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

nên Hai đường chéo AM và KI cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường(Định lí hình bình hành)(2)

Từ (1) và (2) suy ra AM,BN và IK đồng quy(đpcm)

Hình bạn tự vẽ chắc dc rùi nhé mình chỉ giải thôi 

Bài làm 

a/ \(\Delta\)ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC ( M là trung điểm BC )

Nên  Am cũng là đường cao \(\Rightarrow\)AM \(⊥\)BC

  vì M là trung điểm của BC \(\Rightarrow\)BM= MC = \(\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.6=3cm\)

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

AM² + BM² = AB²

AM² + 3²     = 5²

AM² + 9     =  25

AM²           =  25 - 9 =16

\(\Rightarrow\)AM= \(\sqrt{16}=4\)

Vậy S ABC = \(\frac{1}{2}AM.BC\)= ^{\(\frac{1}{2}4.6=12\)}

b/ Xét tứ giác AMCN có :

OA=OC (gt)

OM=ON ( N đối xứng với M qua O )

\(\Rightarrow\)Tứ giác AMCN là hình bình hành

Mà AM \(⊥\)MC ( chứng minh ở câu a ) \(\Rightarrow\)\(\widehat{AMC}\)= 90 ⁰

Hình bình hành AMCN có \(\widehat{AMC}=90\)nên AMCN là hình chữ nhật

C/ Để AMNC là hình vuông thì AM phải bằng MC ( Vì theo lý thuyết hcn có 2 cạnh kề bằng nhau là hình vuông )

Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì có :

AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên BM = AM = MC 

Vậy để tứ giác AMCN là hình vuông thì tam giác ABC phải là tam giác vuông cân tại A

a: AM=BC/2=3cm

b: Xét tứ giác AMCN có

O là trung điểm chung của AC và MN

MA=MC

Do đó: AMCN là hình thoi

Câu a bạn sửa lại để đi mình giải cho .

Sao lại chứng minh ABCD là hình bình hành