Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn \(a+b+c=4\)
tìm Min, max của biểu thức sau:\(A=\sqrt{2a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{4c+1}\)
a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=2. Tìm max và min của \(P=\sqrt{a+b^3c^3}+\sqrt{b+c^3a^3}+\sqrt{c+a^3b^3}\)
Biểu thức này có vẻ chỉ tìm được min chứ ko tìm được max:
Min:
\(P^2=a+b+c+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3+2\sqrt{\left(a+b^3c^3\right)\left(b+c^3a^3\right)}+2\sqrt{\left(a+b^3c^3\right)\left(c+a^3b^3\right)}+2\sqrt{\left(b+c^3a^3\right)\left(c+a^3b^3\right)}\)
\(P^2\ge a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\ge a+b+c=2\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{2}\)
\(P_{min}=\sqrt{2}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;2\right)\) và các hoán vị
Cho a,b,c không âm thỏa a+b+c=4. Tìm Min & Max của
\(A=\sqrt{2a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{4c+1}\)
Cho \(a\), \(b\), \(c\) là 3 số thực không âm thỏa mãn: \(a+b+c=3\)
Tìm GTNN của biểu thức: \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\)
(mong mọi người giúp em bằng cách chứng minh dễ nhất với các bđt quen thuộc vd côsi, bunhia...., trừ khi nếu không thể ạ) Em cảm ơn ạ!
Ta có \(3a+1\ge\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\right)^2\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0\) (luôn đúng)
Do đó \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\).
Tương tự, \(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}b+1;\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}c+1\).
Do đó \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge\sqrt{10}+2\).
Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn a = 3; b = c = 0
Tham khảo:
https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=219071991005&q=Cho%203%20s%E1%BB%91%20th%E1%BB%B1c%20kh%C3%B4ng%20%C3%A2m%20a%2Cb%2Cc%20v%C3%A0%20a%20b%20c%3D3%20T%C3%ACm%20GTLN%20v%C3%A0%20GTNN%20c%E1%BB%A7a%20bi%E1%BB%83u%20th%E1%BB%A9c%20K%3D%5C%28%5Csqrt%7B3a%201%7D%20%5Csqrt%7B3b%201%7D%20%5Csqrt%7B3c%201%7D%5C%29
cho số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1
tìm Min và Max của \(P=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\)
Cho a,b,c\(\ge0\)thỏa mãn\(a+b+c=1\)
a)Tìm max A=\(\sqrt{2a^2+a+1}+\sqrt{2b^2+b+1}+\sqrt{2c^2+c+1}\)
b)Tìm min,max B=\(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\)
c)Tìm min,max C=\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\)
1 . )
Cho 3 số a,b,c dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}\)
2
cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
Cho các số thực không âm a, b, c thay đổi thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\). Tìm GTLN và GTNN của biểu thức \(Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Tham khảo:
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\s... - Hoc24
cho các số thực không âm a b c sao cho a+b+c=1
tìm min max P = \(\sqrt{a^2+2b^2}\) + \(\sqrt{b^2+2c^2}\) + \(\sqrt{c^2+2a^2}\)
thầy Lâm giúp em bài này với
Áp dụng BĐT Mincopxki:
\(P\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Lại có do \(a;b;c\ge0\) nên:
\(a^2+2b^2\le a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2=\left(a+\sqrt{2}b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2}\le a+\sqrt{2}b\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow P\le\left(\sqrt{2}+1\right)\left(a+b+c\right)=\sqrt{2}+1\)
Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị
\(a;b\ge0\Rightarrow ab\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+2b^2+2\sqrt{2}ab\ge a^2+2b^2\)
cho các số thực a,b,c không âm thỏa mãn a + b + c =1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(K=\sqrt{24a+25}+\sqrt{24b+25}+\sqrt{24c+25}\)
1≥a=>a≥a2=>24a+25= 4a+20a+25≥4a2+2.2a.5+25=(2a+5)2
=>\(\sqrt{24a+25}\)≥2a+5
cmtt=> K≥ 2(a+b+c)+15=17
dấu "=" xảy ra <=> (a,b,c)~(1,0,0)