\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)

\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)

\(=16x^2y^2-2xy+12\)

Đặt \(t=xy\) thì \(B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)

Vậy min B \(=\frac{191}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)

Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy , ta có : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}\)

Suy ra : \(B\le16\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}=\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1/2

Vậy max B = 25/2 khi (x;y) = (1/2;1/2)

\(B=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy\)

\(\Leftrightarrow B=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+9xy+25xy=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+34xy=16t^2-2t+12\) Với t = xy

\(B=\left(4t-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{191}{16}\)

Vì: \(0< t=xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{-1}{4}< 4t-\dfrac{1}{4}\le\dfrac{3}{4}\)

Vậy \(\dfrac{191}{16}\le B\le\dfrac{25}{2}\)

ctv hỏi bài

Thái đức anh Ơ CTV là không được hỏi bài à ??? Bài này tôi làm ra lâu rồi,đăng lên chơi vui thôi nhé ! Không làm thì đừng có mà spam lung tung câu hỏi của tôi

Vài bước nhân tung ..v.v là ra ấy mà:v

\(Q=16x^2y^2+12\left(x^3+y^3\right)+9xy+25xy\)

\(=\frac{\left(8xy+1\right)\left(4xy-1\right)}{2}+\frac{25}{2}+12\left(x+y-1\right)\left(x^2-xy+y^2+x+y+1\right)\le\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\).

Max là 25/2 khi ...

tôi cũng nghĩ là dùng Phương pháp dồn biến tìm MAX , MIN

\(P=\left(4x^2+3y\right)\left(4y^2+3x\right)+25xy\)

\(=16x^2y^2+12\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+34xy\)

\(=16x^2y^2+12\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]+22xy\)

\(=16x^2y^2-2xy+12\)

Đặt  \(t=xy\Rightarrow B=16t^2-2t+12=16\left(t-\frac{1}{16}\right)^2+\frac{191}{16}\ge\frac{191}{16}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{1}{16}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\) hoặc  \(\hept{\begin{cases}x=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\\y=\frac{2+\sqrt{3}}{4}\end{cases}}\)

Vậy  \(B_{min}=\frac{191}{16}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(\frac{2+\sqrt{3}}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right);\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4};\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)\)

Đổi B thành P nha lỗi xíu

Làm phần min trước, Max để mai:

Ta chứng minh \(P\ge\frac{18}{25}\).

*Nếu x = 0 thì \(y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow P=\frac{7}{4}>\frac{18}{25}\)

*Nếu x khác 0. Xét hiệu hai vế ta thu được:

\(\ge0\)

P/s: Nên rút gọn cái biểu thức cuối cùng lại cho nó đẹp và khi đó ta không cần xét 2 trường hợp như trên:D

Cách khác đơn giản hơn:

Đặt \(x+y=a;xy=b\Rightarrow a^2\ge4b\)

\(\Rightarrow2a^2-1=5b\) rồi rút thế các kiểu cho nó thành 1 biến là xong:D (em nghĩ vậy thôi chứ chưa thử)

\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)\ge4xy\)    =>  \(xy\le\frac{1}{3}\)

\(1+xy=2\left(x^2+y^2\right)=2\left(x+y\right)^2-4xy\ge-4xy\) =>   \(xy\ge-\frac{1}{5}\)

=>  \(-\frac{1}{5}\le xy\le\frac{1}{3}\)

\(P=7.\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\right]+4x^2y^2\)

\(=7.\left(\frac{1+xy}{2}\right)^2-10x^2y^2=\frac{-33x^2y^2+14xy+7}{4}\)

đặt  \(t=xy\)

\(P=\frac{-33t^2+14t+7}{4}\)

........................

\(P_{min}=\frac{18}{25}\) tại  \(xy=-\frac{1}{5}\)

\(P_{max}=\frac{70}{33}\)  tại  \(xy=\frac{7}{33}\)

\(\left(x+\sqrt{x^2+2020}\right)\left(2y+\sqrt{\left(2y\right)^2+2020}\right)=2020\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y+\sqrt{\left(2y\right)^2+2020}=\sqrt{x^2+2020}-x\\x+\sqrt{x^2+2020}=\sqrt{\left(2y\right)^2+2020}-2y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+2y+\sqrt{x^2+2020}+\sqrt{\left(2y\right)^2+2020}=-x-2y+\sqrt{x^2+2020}+\sqrt{\left(2y\right)^2+2020}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2y\)

\(\Rightarrow B=2y^2-8y^2+3y^2-2y+3y+15\)

\(\Rightarrow B=-3y^2+y+15=-3\left(y-\dfrac{1}{6}\right)^2+\dfrac{181}{12}\)

\(B_{max}=\dfrac{181}{12}\) khi \(y=\dfrac{1}{6}\)