Với đa thức hệ số nguyên, xét 2 số nguyên m, n bất kì, ta có:

\(f\left(m\right)-f\left(n\right)=am^3+bm^2+cm+d-an^3-bn^2-cn-d\)

\(=a\left(m^3-n^3\right)+b\left(m^2-n^2\right)+c\left(m-n\right)\)

\(=a\left(m-n\right)\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m-n\right)\left(m+n\right)+c\left(m-n\right)\)

\(=\left(m-n\right)\left[a\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m+n\right)+c\right]⋮\left(m-n\right)\)

\(\Rightarrow f\left(m\right)-f\left(n\right)⋮m-n\) với mọi m, n nguyên

Giả sử tồn tại đồng thời \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)

Theo cmt, ta phải có: \(f\left(7\right)-f\left(3\right)⋮7-3\Leftrightarrow53-35⋮4\Rightarrow18⋮4\) (vô lý)

Vậy điều giả sử là sai hay không thể đồng thời tồn tại \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)

Giả sử đa thức \(f\left(x\right)-2022\) có nghiệm nguyên \(x=a\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)-2022=\left(x-a\right).g\left(x\right)\) với \(g\left(x\right)\) là đa thức nhận giá trị nguyên khi x nguyên

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-a\right).g\left(x\right)+2022\) (1)

Lại có với a nguyên thì \(\left(2020-a\right)-\left(2019-a\right)=1\) lẻ nên 2020-a và 2019-a luôn khác tính chẵn lẻ

\(\Rightarrow\left(2019-a\right)\left(2020-a\right)\) luôn chẵn

Lần lượt thay \(x=2020\) và \(x=2019\) vào (1) ta được:

\(f\left(2019\right)=\left(2019-a\right).g\left(2019\right)+2022\)

\(f\left(2020\right)=\left(2020-a\right).g\left(2020\right)+2022\)

Nhân vế với vế:

\(f\left(2019\right).f\left(2020\right)=\left(2019-a\right)\left(2020-a\right).g\left(2019\right).g\left(2020\right)+2022\left[\left(2019-a\right)g\left(2019\right)+\left(2020-a\right).g\left(2020\right)+2022\right]\)

\(\Leftrightarrow2021=\left(2019-a\right)\left(2020-a\right).g\left(2019\right).g\left(2020\right)+2022\left[\left(2019-a\right)g\left(2019\right)+\left(2020-a\right).g\left(2020\right)+2022\right]\)

Do \(\left(2019-a\right)\left(2020-a\right)g\left(2019\right).g\left(2020\right)\) chẵn \(\Rightarrow\) vế phải chẵn

Mà vế trái lẻ \(\Rightarrow\) vô lý

Vậy điều giả sử là sai hay đa thức đã cho không có nghiệm nguyên

MN lm đc câu a mk mừng rơi nước mắt lun

a) Đặt f(x)=c_1.x^n + c_2.x^(n - 1) + ... + c_(n - 1).x^2 + c_n.x

Ta có:
a^n − b^n

= (a−b).(a^(n−1) + a^(n−2).b + ... + b^(n−1))

⇒f(a) − f(b) = (a − b).P(a, b) với P(a, b) là 1 đa thức chứa a, b với hệ số nguyên
Suy ra f(a) - f(b) chia hết cho (a - b)

Ta có : \(f(7)=a\cdot7^3+2\cdot b\cdot7^2+3\cdot c\cdot7+4d=343a+98b+21c+4d\)

Lại có : \(f(3)=a\cdot3^3+2\cdot b\cdot3^2+3\cdot c\cdot3+4d=27a+18b+9c+4d\)

Giả sử phản chứng nếu \(f(7)\)và \(f(3)\)đồng thời bằng 73 và 58 suy ra là :

\(f(7)-f(3)=(343a-27a)+(98b-18b)+(21c-9c)+(4d-4d)=73-58=15\)

\(\Rightarrow f(7)-f(3)=316a+90b+12c=15\)

Mà ta thấy các đơn thức chỉ có dạng chung duy nhất là 2k

\(f(7)-f(3)=2k=15\)

Mà 15 ko chia hết cho 2 , suy ra giả sử sai

=> đpcm

Giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm nguyên x = a. Khi đó f(x) = (x - a).g(x)

Vậy thì f(0) = -a.g(x)   ; f(1) = (1 - a).g(x) ; f(2) = (2 - a).g(x);    f(3) = (3 - a).g(x) ; f(4) = (4 - a).g(x) ; 

Suy ra f(0).f(1).f(2).f(3).f(4) = -a.(1-a)(2-a)(3-a)(4-a).g⁵(x)

VT không chia hết cho 5 nhưng VP lại chia hết cho 5 (Vì -a.(1-a)(2-a)(3-a)(4-a) là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5)

Vậy giả sử vô lý hay phương trình f(x) = 0 không có nghiệm nguyên.