a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB

Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho \(AM = \frac{2}{3}AO\)

b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm \(\overrightarrow {ND}  + \overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho \(ON = \frac{1}{3}OD\)

c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: \(\overrightarrow {PM}  + \overrightarrow {PN}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN

Vậy điểm P trùng với điểm O.

Gọi P và Q lần lượt là trung điểm AB và CD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MP}\\\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MQ}\end{matrix}\right.\)

\(\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{BM}\right|=\left|\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{DM}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{MP}\right|=\left|2\overrightarrow{MQ}\right|\)

\(\Leftrightarrow MP=MQ\)

Tập hợp M là đường trung trực của đoạn PQ

Cách 1:

Do ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow  - \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  =  - \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \end{array}\)

Cách 2:

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC} \) (*)

Áp dụng quy tắc hiệu ta có: \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {BA} ;\;\;\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CD} \)

Do đó (*) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD} \) (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)

Cách 3:

Ta có:

\(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC} } \right)\)

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)\( \Rightarrow  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {DC} \) hay \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \) (đpcm)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  =  - \overrightarrow {MA} ,\;\overrightarrow {DM}  =  - \overrightarrow {MD} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB} \)

Tương tự ta có: \(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {DC} \)

Mà \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)(do ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} \) (đpcm)