Không biết em có làm sai không:

ĐKXĐ: \(x,y\ge0\).

Đặt 2x = a; 3y = b. 

 HPT trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(a-b\right)\left(ab+12\right)=0\\a^2+b^2=16\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a-\left(\sqrt{5}\right)^b+\left(b-a\right)\left(a^2+b^2\right)+a^3-b^3+12\left(a-b\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=16\\\left(\sqrt{5}\right)^a+a^3-4a=\left(\sqrt{5}\right)^b+b^3-4b=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\).

Giả sử \(a\ge b\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^a\ge\left(\sqrt{5}\right)^b\). Mà \(\left(a^3-4a\right)-\left(b^3-4b\right)=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2-4\right)\ge0\) nên VT(1) \(\ge\) VP(1). 

Do đẳng thức xảy ra nên ta có a = b. Thay vào ta tìm được a = b = \(2\sqrt{2}\) nên \(x=\sqrt{2};y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\).

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+12\right)\left(1\right)\\4x^2+9y^2=16\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow4x^2+9y^2-4=12\) the vo (1)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=\left(3y-2x\right)\left(6xy+4x^2+9y^2-4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}-\left(\sqrt{5}\right)^{3y}=27y^3-8x^3-12y+8x\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{5}\right)^{2x}+\left(2x\right)^3-4.\left(2x\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{3y}+\left(3y\right)^3-4.\left(3y\right)\left(3\right)\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\left(\sqrt{5}\right)^{2t}+\left(2t\right)^3-4.2t\)  đồng biến trên R

\(\Rightarrow\left(3\right):f\left(2x\right)=f\left(3y\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=3y\\4x^2+9y^2=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{2}\\y=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+2xy-3y^2=-4\left(1\right)\\2x^2+xy+4y^2=5\left(2\right)\end{matrix}\right.\)\(với\)\(y=0\Rightarrow hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=-4\\2x^2=5\end{matrix}\right.\)\(\left(loại\right)\)

\(y\ne0\) \(đặt:x=t.y\Rightarrow hpt\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t^2y^2+2ty^2-3y^2=-4\left(3\right)\\2t^2y^2+ty^2+4y^2=5\left(4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow5t^2y^2+10ty^2-15y^2=-8t^2y^2-4ty^2-16y^2\)

\(\Leftrightarrow13t^2y^2+14ty^2+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow13t^2+14t+1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-\dfrac{1}{13}\\t=-1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{13}y\left(5\right)\\x=-y\left(6\right)\end{matrix}\right.\)

\(thay\left(5\right)và\left(6\right)\) \(lên\left(1\right)hoặc\left(2\right)\Rightarrow\left(x;y\right)=\left\{\left(1;-1\right);\left(-1;1\right);\left(-\dfrac{1}{\sqrt{133}};\dfrac{13}{\sqrt{133}}\right)\right\}\)

\(pt:x^4-4x^3+x^2+6x+m+2=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-4x^3+4x^2-3x^2+6x+m+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x\right)^2-3\left(x^2-2x\right)+m+2=0\left(1\right)\)

\(đặt:x^2-2x=t\ge-1\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow t^2-3t=-m-2\)

\(xét:f\left(t\right)=t^2-3t\) \(trên[-1;+\text{∞})\) \(và:y=-m-2\)

\(\Rightarrow f\left(-1\right)=4\)

\(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{9}{4}\)

\(\left(1\right)\) \(có\) \(3\) \(ngo\) \(pb\Leftrightarrow-m-2=4\Leftrightarrow m=-6\)

"và" là dấu ngoặc nhọn nên không gộp lại được nha, "hoặc" là dấu ngoặc vuông mới gộp được, nhưng nếu BPT của bạn là dấu ngoặc vuông thì BPT này vô nghiệm

Chúc bn học tốt!

Lời giải:
Dấu ngoặc này biểu thị cả hai đồng thời xảy ra

Từ BPT (1) ta có \(x\geq \frac{1}{2}\). Từ BPT (2) ta có \(x< \frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2}\leq x< \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{2}< \frac{1}{2}\) (vô lý)

Vậy bpt vô nghiệm.

Lý do ra $0< x< 2$ thì em vẽ thử cái trục số ra.

$\frac{1}{2}\leq x< 2$ kết hợp cùng $0< x< \frac{1}{2}$ thì thấy khoảng biểu diễn $x$ chính là $0< x< 2$

\(\left\{{}\begin{matrix}3xy^2=x^2+2\left(1\right)\\3x^2y=y^2+2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3xy^2\left(y^2+2\right)=\left(x^2+2\right)\left(y^2+2\right)\left(2\right)\\3x^2y\left(x^2+2\right)=\left(y^2+2\right)\left(x^2+2\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ vế theo vế \(\left(2\right)\) cho \(\left(3\right)\) ta được

\(3xy^2\left(y^2+2\right)-3x^2y\left(x^2+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow3xy\left(y-x\right)\left(x^2+y^2+xy+2\right)=0\)

Do \(x^2+xy+y^2+2>0\forall x,y\) nên\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\\x=y\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0=0+2\\0=y^2+2\end{matrix}\right.\left(VN\right)\)

Nếu \(y=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0=x^2+2\\0=0+2\end{matrix}\right.\left(VN\right)\)

Nếu \(x=y\), \(\left(1\right)\Leftrightarrow3x^3-x^2-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x^2+2x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(x=y=1\)

\(1,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+5\\2y+10+y=11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{16}{3}\\y=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\\ 2,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=1-2y\\1-2y+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\\ 3,\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y+2\\3y+6+2y=11\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.\)