\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+\sqrt{b}}\mp\sqrt{a-\sqrt{b}}\right)^2=\left(\sqrt{2\left(a\mp\sqrt{a^2-b}\right)}\right)^2\Leftrightarrow a+\sqrt{b}+a-\sqrt{b}\mp2\sqrt{\left(a+\sqrt{b}\right)\cdot\left(a-\sqrt{b}\right)}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\Leftrightarrow2a\mp2\sqrt{a^2-b}=2a\mp2\sqrt{a^2-b}\) (luôn đúng) \(\Rightarrowđpcm\)

Cả 2 vế đều không âm nên bình phương hai vế ta được bất đẳng thức tương đương. Điều phải chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.

a) \(a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)

<=> \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng )

=> đpcm

b) \(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a+b}{2}^2}\ge\left(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2\)

<=> \(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\)

<=> \(\dfrac{2a+2b}{4}\ge\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}\Leftrightarrow2a+2b\ge a+b+2\sqrt{ab}\)

<=> \(2a+2b-a-b-2\sqrt{ab}\ge0\)

<=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

=> đpcm

mịa c đâu ra vậy

Ta có :

\(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\)

\(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall b\ge0\Rightarrow b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)

Biến đổi tương đương:

\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)

\(\Leftrightarrow2a+2b-a-2\sqrt{ab}-b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) luôn đúng

=> (1) đúng

Dấu "=" xảy ra khi a = b

Với b\(\ge\)0, a\(\ge\)\(\sqrt{b}\) ta bình phương 2 vế lên có:

\(\sqrt{a\pm \sqrt{b}}^2\)=\((\sqrt{\dfrac{\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}}{2}}\)\pm \(\sqrt{\dfrac{\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}}}{2}})^2\)

Xét vế trái ta có:

\(\sqrt{(a\pm \sqrt{b})^2}\)=\(a\pm \sqrt{b})

Bình phương vế phải của đẳng thức ta đc :

\(\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}\pm2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\cdot\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

\(=a\pm2\sqrt{\frac{a^2-\left(a^2-b\right)}{4}}\)

\(=a\pm2\sqrt{\frac{b}{4}}=a\pm\sqrt{b}\)

=> đpcm

Áp dụng BĐT căn trung bình bình phương ta có: 

*BĐT này mk ko biết rõ tên nó viết cả ra :v, dạng tổng quát nó đây (kiểu AM-GM ấy)*

 với a₁;a₂;...a_n ko âm thì \(\sqrt{\frac{a_1^2+b_1^2+....+a_n^2}{n}}\ge\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\)

\(VT=\sqrt{\frac{a+b}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}}{2}}\)

\(\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}=VP\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

ta có a>=b>=0 =>\(ab\ge b^2\)=>\(\sqrt{ab}\ge b\)

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\le a-b\Rightarrow a+b-2\sqrt{ab}\le a-b\)

=>\(2b-2\sqrt{ab}=< 0\)

luôn đúng(cmt)=>dpcm