Question

Với \(a\ge0;b\ge0\), chứng minh :

                 \(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)

Answer 1

Cả 2 vế đều không âm nên bình phương hai vế ta được bất đẳng thức tương đương. Điều phải chứng minh tương đương với:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}-\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a-2\sqrt{ab}+b}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{a}\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{4}\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.