Bài 4: Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
phamthiminhanh

chứng minh bất phương trình:

a) \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\)

b) \(\sqrt{a}+\sqrt{b}< hoặc=\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}\)

với a>0, b>0

Lê Thị Thục Hiền
20 tháng 6 2021 lúc 20:24

a) \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\sqrt{\sqrt{a^2+2}.\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)

Dấu = xảy ra khi \(\sqrt{a^2+2}=\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\Leftrightarrow a^2=-1\left(vn\right)\)

\(\Rightarrow\) Dấu "=" không xảy ra

Vậy \(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\)

b)Với x,y>0,ta cm bđt phụ sau:

\(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) (1)

Thật vậy (1)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\cdot\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)

Áp dụng (1) có:

\(\dfrac{a}{\sqrt{b}}+\dfrac{b}{\sqrt{a}}=\dfrac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}.\sqrt{b}}\ge\dfrac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Dấu "=" xra khi a=b

Vậy...


Các câu hỏi tương tự
Trần Đông
Xem chi tiết
Nguyễn Trần Duy Thiệu
Xem chi tiết
Lữ Diễm My
Xem chi tiết
illumina
Xem chi tiết
Võ Lan Nhi
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh Chi
Xem chi tiết
Trần Diệp Nhi
Xem chi tiết
Bảo
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết