Question

Chứng minh rằng nếu a,b là các số nguyên không âm và \(a^2>b\) thì

\(\sqrt{a\pm b}=\sqrt{\dfrac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

Answer 1

Lời giải:

Sửa đề: \(\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

Xét

\(B=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

\(B^2=\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}+2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}.\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\)

\(=a+2\sqrt{\frac{a^2-(a^2-b)}{4}}=a+\sqrt{b}\)

\(\Rightarrow B=\sqrt{a+\sqrt{b}}\) (do B không âm.)

Hoàn toàn tt, \(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}=\sqrt{a-\sqrt{b}}\)