Dễ ---> (*_*  )

=(5+5^3+5^5)+...+5^199+5^201+5^203)=

5*(1+5^2+5^4)+...+5^199*(1+5^2+5^4)=

5*651+...+5^199*631=

631*(5+5+5+...+5)=

31*21*(5+5+...+5) chia hết cho 31

=(5+5^3+5^5)+...+5^199+5^201+5^203)=

5*(1+5^2+5^4)+...+5^199*(1+5^2+5^4)=

5*651+...+5^199*631=

631*(5+5+5+...+5)=

31*21*(5+5+...+5) chia hết cho 3

Giải

Đặt biểu thức trên = K

Nhóm P thành từng bộ 4 số hạng và làm tương tự ta cũng có: 

\(K=\left(1+3^2+3^4+3^6\right).\left(1+3^8+3^{16}+...+3^{1984}\right)\)

 \(=820.\left(1+3^8+3^{16}+...+3^{1984}\right)\)

  Do 820 \(⋮\) 41 nên P cũng \(⋮\) 41 

\(1+2-3+4-5+....+200-201+202-203+600\)

\(=1+\left(2-3\right)+\left(4-5\right)+....+\left(200-201\right)+\left(202-203\right)+600\)

\(=1+\left(-1\right)+\left(-1\right)+....+\left(-1\right)+\left(-1\right)+600\) ( có 101 số  -1 )

\(=1+\left(-1\right).101+600=\left(-1\right).100+600=-100+600=500\)

=1+(2+4+....+200)-(3+5+...+201)+600=1+100*202/2-100*204/2+600=601+100*101-100*102=601+100*(101-102)=501

\(B=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{200}+2^{201}\)\(\Rightarrow B=2\left(1+2^1+2^2\right)+2^4\left(1+2^1+2^2\right)+...+2^{199}\left(1+2^1+2^2\right)\)

\(\Rightarrow B=2.7+2^4.7+...+2^{199}.7\)

\(\Rightarrow B=7.\left(2+2^4+...+2^{199}\right)⋮7\Rightarrow dpcm\)

mik cần gấp

Xét B =  \(\frac{201+202+203}{202+203+204}\)

          = \(\frac{201}{202+203+204}\)+ \(\frac{202}{202+203+204}\)+ \(\frac{203}{202+203+204}\)

 Vì 202 < 202 + 203 + 204 nên \(\frac{201}{202}\)>\(\frac{201}{202+203+204}\)(1)

Vì 203 < 202 + 203 + 204 nên \(\frac{202}{203}\)> \(\frac{202}{202+203+204}\)(2)

Vì 204 < 202 + 203 + 204 nên \(\frac{202}{203}\)>\(\frac{202}{202+203+204}\)(3)

Cộng vế vơi vế của (1) , (2) và (3)

=>\(\frac{201}{202}+\frac{202}{203}+\frac{203}{204}\)> \(\frac{201+202+203}{202+203+204}\)

=> A > B

Vậy A > B

Tham khảo bài tương tự nhé !

Ta đặt biểu thức trên là S 
Ta có S = 3 x (1 + 3^2 + 3^4 + 3^6 + ... + 3^1990) = 3 x P 
Chứng mình S chia hết cho 13 và 41 tương đưong với chứng mình P chia hết cho 13 và 41 

P có 996 số hạng 

Nhóm P thành từng bộ 3 số hạng 
P = 1 + 3^2 + 3^4 + 3^6 + ... + 3^1990 
= (1 + 3^2 + 3^4) + 3^6 x (1 + 3^2 + 3^4) + ... + 3^1986 x (1 + 3^2 + 3^4) 
= (1 + 3^2 + 3^4) x (1 + 3^6 + 3^12 + ... + 3^1986) 
= 91 x (1 + 3^6 + .... + 3^1986) 
Do 91 chia hết cho 13 nên P cũng chia hết cho 13 

Nhóm P thành từng bộ 4 số hạng và làm tương tự ta cũng có: 
P = (1 + 3^2 + 3^4 + 3^6) x (1 + 3^8 + 3^16 + ... + 3^1984) 
= 820 x (1 + 3^8 + 3^16 + ... + 3^1984) 
Do 820 chia hết cho 41 nên P cũng chia hết cho 41 

*(a^n-1)=(a-1)(1+a+a^2+..+a^(n-1)) 

=>1+a+a^2+...+a^(n-1)=(a^n-1)/(a-1) 

*a^(n.m)=(a^n)^m. 
Ta có: 
S=3+3^3+...+3^1991= 
=3(1+3^2+3^4+...+3^1990) 
=3(1+9+9^2+...+9^995) 
=3(9^996-1)/8 
=3P/8. 
với P=9^996-1. 
vì 13 và 8 là 2 số ngyuên tố cùng nhau, tương tự 41 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau, nên ta chỉ cần cm P cha hết cho 13 và 41. 
a) ta có: 
P=9^996-1= 
=(3^2)^996-1 
=3^1992-1 
=(3^3)^664-1 
=27^664-1 
=(27-1)(1+27^2+...+27^663) 
=26(1+27^2+..+27^663) 
mà 26 chia hết cho 13, nên P chia hết cho 13. 
b)ta lại có: 
P=9^996-1= 
=(9^4)^249-1 
=6561^249-1 
=(6561-1)(1+...+6561^248) 
=6560(1+6561+...+6561^248) 
thấy 6560 chia hết cho 41 nên P chia hết cho 41. 
Với cách này ta còn cm được S chia hết cho rất nhiều số khác nữa.

5²⁰³ + 5²⁰² + 5²⁰¹ = 5²⁰¹ x 5² + 5²⁰¹ x 5 + 5²⁰¹ = 5²⁰¹(5²+5+1) = 5²⁰¹ x 31 chia hết 31

cho mik nha bn

Ta có:

5^203+5^202+5^201

=5^200*(5^3+5^2+5^1)

=5^200*155=5^200*5*31

=>chia hết cho 31

5²⁰³+5²⁰²+5²⁰¹=5²⁰¹.(1+5+5²)=5²⁰¹.31 chia hết cho 31

=>đpcm
 

Xét B = \(\frac{201+202+203}{202+203+204}\)

         = \(\frac{201}{202+203+204}\)\(+\)\(\frac{202}{202+203+204}\)\(+\)\(\frac{203}{202+203+204}\)

Vì 202 < 202 + 203 + 204

=> \(\frac{201}{202}\)> \(\frac{201}{202+203+204}\)( 1 )

Vì 203 < 202 + 203 + 204

=> \(\frac{202}{203}\)>\(\frac{202}{202+203+204}\)( 2 )

Vì 204 < 202 + 203 + 204

=> \(\frac{203}{204}\)> \(\frac{203}{202+203+204}\)( 3 )
Cộng vế với vế của ( 1 ), ( 2 ) và ( 3 )

=> \(\frac{201}{202}+\frac{202}{203}+\frac{203}{204}\)> \(\frac{201+202+203}{202+203+204}\)

=> A > B

Vậy A > B