Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=3\)

\(P=3a^2+b^2+3c^2\)

Biểu thức này chỉ có min, không có max

Đề bài phải là tìm x,y,z nguyên nhé!

Nhận xét: x=0, thì y=-z là nghiệm của pt

vây nghiệm (\(\left(x,y,z\right)=\left(0,y_0,-y_0\right)\)và các hoán vị của nó

Nếu \(x\ne0\Rightarrow y,z\ne0\)
Xét \(x^2+y^2+z^2\ne0\)

pt <=> \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=3\)

Đặt: xy=a,yz=b,zx=c

Vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử a\(\ge\)b\(\ge\)c

Khi đó: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{c}\Leftrightarrow3\le\frac{3}{c}\Leftrightarrow c\le1\Leftrightarrow c=1\)

Thay vào pt: ta được: \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)

Lại có: \(2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le\frac{2}{b}\Leftrightarrow b\le1\Rightarrow b=1\)

Vậy a=b=c=1

hay xy=yz=zx=1

Vậy ta có các nghiệm nguyên sau tm: \(\orbr{\begin{cases}x=y=z=1\\x=y=z=-1\end{cases}}\)

Vậy pt có nghiệm là:

\(\orbr{\begin{cases}x=y=z=1\\x=y=z=-1\end{cases}}\)

hoặc: \(\left(x,y,z\right)=\left(0,y_0,-y_0\right),y_0\in Z\)và các hoán vị của chúng

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)

Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

Tiếp tục use AM-GM:

\(x^2y^2+y^2z^2=y^2\left(x^2+z^2\right)\ge2xy^2z\)

Tương tự rồi cộng theo vế rồi rút gọn:

\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow VT=x^4+y^4+z^4\ge3xyz=VP\left(vi`...x+y+z=3\right)\)

Khi \(x=y=z=1\)

lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll

mn giúp mình với

VT=\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy.\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right).z+z^2-3xy\left(\text{vì }x+y+z=1\right)\)

\(=x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^3-3xy\)

\(=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\)

\(=\frac{1}{2}.\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left[\left(x^2-2xy-y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(x^2-2xz+z^2\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2}.\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)=VP

=>dpcm

Ta có : \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)-3xyz\)

\(=x+y+z\left(x^2+y^2+z^2+2xy+xz+yz\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(=x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=\frac{\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2xz+x^2\right)}{2}=\frac{1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)