Cho các số x,y,z thõa mãn đồng thời \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\) và \(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\). Tính giá trị của biểu thức P = (x + 2y + z)2019
Cho các số x,y,z khác 0 thỏa mãn đồng thời \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=2 và \(\frac{2}{xy}\)-\(\frac{1}{z^2}\)=4.
Tính giá trị biểu thức: P=\(\left(x+2y+z\right)^{2019}\)
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\)
Khai triển cả 2 vế ta được \(\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)
=>\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=0\end{cases}}\)=>\(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\Rightarrow x=y\)
=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{x}+\frac{1}{z}=2\Rightarrow\frac{4}{x^2}+\frac{4}{xz}+\frac{1}{z^2}=4\)(1)
\(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{z^2}=4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\frac{2}{x^2}+\frac{4}{xz}+\frac{2}{z^2}=0\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xz}+\frac{1}{z^2}=0\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow x=y=-z\)
=> \(P=\left(x+2y+z\right)^{2019}=\left(2y\right)^{2019}\)
à thêm cái này nữa. Sorry viết thiếu
Vì x=y=-z\(\Rightarrow\frac{2}{x}-\frac{1}{x}=2\Rightarrow\frac{1}{x}=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}.\)
lúc đó \(P=\left(2.\frac{1}{2}\right)^{2019}=1\)
Cho 3 số x,y,z khác 0 đồng thời thỏa mãn \(x+y+z=\frac{1}{2},\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\) và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\)
Tính giá trị biểu thức Q=\(\left(y^{2017}+z^{2017}\right)\left(z^{2019}+x^{2019}\right)\left(x^{2021}+y^{2021}\right)\)
Cho các số x,y,z thỏa mãn: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\) và \(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\)
Tính giá trị của biểu thức:
\(C=\left(x+2y+z\right)^{2021}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{z^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xz}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{z^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=0\\\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{-z}\\\frac{1}{y}=\frac{1}{-z}\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{-z}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{-z}+\frac{1}{-z}+\frac{1}{z}=2\)
\(\Leftrightarrow z=\frac{-1}{2}\)
\(x=y=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow C=\left(x+2y+z\right)^{2021}=\left(\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^{2021}=1^{2021}=1\)
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{xz}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{z^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xz}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{z^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2=0\\\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=-\frac{1}{z}\\\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow x=y=-z\)
Thay vào \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)ta được :
\(x=y=\frac{1}{2};z=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P=\left(\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^{2021}=1^{2020}=1\)
Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)và \(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\)
Tính giá teij của biểu thức \(P=\left(x+2y+z\right)^{2018}\)
Cho x,y,z khác 0 t/m \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\) và \(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\)Tính giá trị biểu thức \(P=\left(x+2y+z\right)^{2019}\)
a,cho các số x,y,z khác 0 thoả mãn
\(x-2y+\frac{z}{y}=z-2x+\frac{y}{x}=x-2z-\frac{y}{z}\).Tính giá trị biểu thức A=\(\left(1+\frac{y}{x}\right)\times\left(1+\frac{y}{x}\right)=\left(1+\frac{x}{z}\right)+2020\)
b, tìm các số tự nhiên x,y thoả mãn xy+4x=35+5y
c, tìm các số tự nhiên x,y thoả mãn 2^/x/+y^2+y=2x+1
cho x;y;z là các số thực dương thõa mãn : x + y + z = xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = \(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)
Ta có: \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow x=\frac{x+y+z}{yz}\Leftrightarrow x^2=\frac{x^2+xy+xz}{yz}\Leftrightarrow x^2+1=\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}\)\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Tương tự, ta được: \(\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}=\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}\); \(\frac{1}{\sqrt{z^2+1}}=\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên, ta được: \(P=\sqrt{\frac{yz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xy}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)\(\le\frac{\frac{y}{x+y}+\frac{z}{z+x}+\frac{x}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}+\frac{y}{y+z}}{2}=\frac{3}{2}\)(BĐT Cô-si)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = \(\sqrt{3}\)
Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2,\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\), . Tính giá trị của biểu thức P = ( x + 2y + z)^2012
pờ li mina
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2=\left(2-\frac{1}{z}\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}=4-\frac{4}{z}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}-\frac{4}{z}+\frac{1}{z^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=-\frac{4}{z}=4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x}+4+\frac{1}{y^2}-\frac{4}{y}+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}-2\right)^2+\left(\frac{1}{y}-2\right)^2=0\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\Rightarrow z=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y+z\right)^{2012}=1^{2012}\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}\)
Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^2+x^2}}{xz}\)