=56 phân số bất đồng trị của a+b
chắc câu này a đăng lên cho vui :vv
Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2< =>\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=2^2=4\)
\(< =>\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=4\)
\(< =>\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\left(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\right)+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+4=4\)
\(< =>\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}-\frac{2}{xy}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=4-4\)
\(< =>\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=0\)
\(< =>\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{zx}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{z^2}\right)=0\)
\(< =>\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=0< =>\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)
\(< =>x=y=-z\)Thế vào giả thiết ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)
\(< =>\frac{1}{-z}+\frac{1}{-z}+\frac{1}{z}=2< =>\frac{-1}{z}+\frac{-1}{z}+\frac{1}{z}=2\)
\(< =>\frac{-1-1+1}{z}=2< =>2z=-1< =>z=-\frac{1}{2}\)
Suy ra \(x=y=-z=-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}< =>\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\\z=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Nên \(P=\left(x+2y+z\right)^{2019}=\left(\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^{2019}=1^{2019}=1\)
\(ĐK:x,y,z\ne0\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)ta được \(\hept{\begin{cases}a+b+c=2\\2ab-c^2=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2-c\\2ab=4+c^2\end{cases}}\)
Do đó a, b là các nghiệm của phương trình: \(t^2-\left(2-c\right)t+\frac{4+c^2}{2}=0\)
Ta có:\(\Delta=\left(c-2\right)^2-4.\frac{4+c^2}{2}=c^2-4c+4-8-2c^2=-\left(c+2\right)^2\)
Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)mà \(-\left(c+2\right)^2\le0\)nên \(-\left(c+2\right)^2=0\Rightarrow c=-2\Rightarrow a=b=2\)
Do đó hệ có nghiệm \(\left(x,y,z\right)=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{-1}{2}\right)\)
Thay vào biểu thức, ta được: \(P=\left(\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^{2019}=1^{2019}=1\)
