Question

Cho các số x, y, z khác 0 thỏa mãn đồng thời và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2,\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\), . Tính giá trị của biểu thức P = ( x + 2y + z)^2012

pờ li mina

Answer 1

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2=\left(2-\frac{1}{z}\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}=4-\frac{4}{z}+\frac{1}{z^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{xy}=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}-\frac{4}{z}+\frac{1}{z^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=-\frac{4}{z}=4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}-\frac{4}{x}+4+\frac{1}{y^2}-\frac{4}{y}+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}-2\right)^2+\left(\frac{1}{y}-2\right)^2=0\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\Rightarrow z=-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+2y+z\right)^{2012}=1^{2012}\)