Question

Bài 1:

a) Cho x>y>0 và \(\frac{x^2+y^2}{xy}\)= \(\frac{10}{3}\). Tính giá trị của biểu thức M=\(\frac{x-y}{x+y}\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A= \(\frac{5x^2-x+1}{x^2}\), x≠0

Bài 2: Chứng minh rằng:
\(\frac{x-y}{1+xy}\)+\(\frac{y-z}{1+yz}+\frac{z-x}{1+zx}=\frac{x-y}{1+xy}\cdot\frac{y-z}{1+yz}\cdot\frac{z-x}{1+zx}\)

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

a) P= x²+3x+3
b) Q= x²+2y^2+2xy-2y

Answer 1

Bài 3:

a) Ta có: \(x^2+3x+3\)

\(=x^2+2\cdot x\cdot\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Ta có: \(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow x+\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{-3}{2}\)

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+3x+3\) là \(\frac{3}{4}\) khi \(x=\frac{-3}{2}\)

b) Ta có: \(Q=x^2+2y^2+2xy-2y\)

\(=x^2+2xy+y^2+y^2-2y+1-1\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(y-1\right)^2-1\)

Ta có: \(\left(x+y\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\left(y-1\right)^2\ge0\forall y\)

Do đó: \(\left(x+y\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y-1\right)^2-1\ge-1\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q=x^2+2y^2+2xy-2y\) là -1 khi x=-1 và y=1