Question

Cho x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn x+y+z=3 và\(x^2+y^2+z^2=9\). Tính giá trị của biểu thức P=\(\left(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}-4\right)^{2019}\)

Answer 1

\(xy+yz+zx=\frac{\left(x+y+z\right)^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}=\frac{3^2-9}{2}=0\)

Ta có:

\(\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(zx\right)^3-3xy.yz.zx\)

\(=\left(xy+yz+zx\right)\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-xy.yz-yz.zx-xy.zx\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(zx\right)^3=3x^2y^2z^2\)

Do đó:

\(P=\left(\frac{\left(xy\right)^3+\left(yz\right)^3+\left(zx\right)^3}{x^2y^2z^2}-4\right)^{2019}=\left(\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}-4\right)^{2019}=\left(-1\right)^{2019}=-1\)