Bài làm
Gọi UCLN(5n+14 và n+2)=d
Suy ra :5n+14 chia hết cho d
            :n+2 chia hết cho d
Suy ra:5n+14 chia hết cho d
           :5n+10 chi hết cho d
Suy ra:(5n+14)-(5n+10) chia hết cho d
Suy ra:=5n+14-5n-10 chia hết cho d
Suy ra:=        1         chia hết cho d
Suy ra: d thuộc Ư(1)
Suy ra:   d = 1
Vậy ƯCLN(5n+14 và n+2)=1 nên 5n+14 chia hết cho n+2

Đặt \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n^3+1}=a\in N\)

\(\Leftrightarrow n+2+n^3+1+2\sqrt{\left(n+2\right)\left(n^3+1\right)}=a^2\)

Vì n, a là số tự nhiên nên \(\left(n+2\right)\left(n^3+1\right)=x^2\in N\)

\(\Leftrightarrow n^4+2n^3+n+2=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(n^2+n\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-n^2-n\right)\left(x+n^2+n\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x-n^2-n=1\\x+n^2+n=2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x-n^2-n=2\\x+n^2+n=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

vô nghiệm nhé

\(P\ge\sqrt{3-m^2+3-n^2}=\sqrt{2}\)

\(P_{min}=\sqrt{2}\) khi \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{3-m^2}=0\\\sqrt{3-n^2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(m;n\right)=\left(1;\sqrt{3}\right);\left(\sqrt{3};1\right)\)

\(P\le\sqrt{2\left(3-m^2+3-n^2\right)}=2\)

\(P_{max}=2\) khi \(m=n=\sqrt{2}\)

n thuộc {0; 2; 6; 12; ...}