2. 

Gọi x;x+1;x+2;x+3 là 4 số tự nhiên liên tiếp ( x\(\in\) N)

 Ta có : x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1 

 =(  x² + 3x ) (x² + 2x + x +2 )  +1 

= (  x² + 3x ) (x² +3x + 2 ) +1  (*)

Đặt t = x² + 3x  thì  (* ) =  t ( t+2 ) + 1=  t² + 2t +1  =  (t+1)²  = (x² + 3x + 1 )²

=>  x (x+1) (x+2 ) (x+3 ) +1  là số chính phương 

hay tích 4 số tự nhiên liên tiếp  cộng  1 là số chính phương 

\(a,\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{7}{4}=0\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}=0\\ \Leftrightarrow x,y\in\varnothing\left[\left(x-y\right)^2+\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}\ge\dfrac{7}{4}>0\right]\\ b,\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(9y^2+12y+4\right)+\left(4z^2-4z+1\right)+14=0\\ \Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(3y+2\right)^2+\left(2z-1\right)^2+14=0\\ \Leftrightarrow x,y,z\in\varnothing\left[\left(x-1\right)^2+\left(3y+2\right)^2+\left(2z-1\right)^2+14\ge14>0\right]\)

\(c,\Leftrightarrow-\left(x^2-10xy+25y^2\right)-\left(y^2-20y+100\right)-50=0\\ \Leftrightarrow-\left(x-5y\right)^2-\left(y-10\right)^2-50=0\\ \Leftrightarrow x,y\in\varnothing\left[-\left(x-5y\right)^2-\left(y-10\right)^2-50\le-50< 0\right]\)

Gọi 4 số nguyên liên tiếp là n , n+1 , n+2 , n+3 

Ta có  :   \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right)^2+2\left(n^2+3n\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n+1\right)^2\)là số chính phương  (đpcm)

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp đó là \(n;n+1;n+2;n+3\left(n\in N\right)\)

Theo  bài ra ta có \(n.\left(n+1\right).\left(n+2\right).\left(n+3\right)+1\)

\(=n.\left(n+3\right).\left(n+1\right).\left(n+2\right)+1\)

\(=\left(n^2+3n\right).\left(n^2+3n+2\right)+1\)

Đặc \(n^2+3n=a\)

Khi đó ta có \(a.\left(a+2\right)+1=a^2+2a+1=\left(a+1\right)^2=\left(n^2+3n+1\right)^2\)là số chính phương

Vậy...

Goi 4 số tự nhiên liên tiếp lần lượt là x, x+1, x+2, x+3 (\(x\in N\))

Ta sẽ chứng minh \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)là một số chính phương.

Ta có : \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1=\left[x\left(x+3\right)\right].\left[\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right]+1\)

\(=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)+1=\left(x^2+3x\right)\left[\left(x^2+3x\right)+2\right]+1\)

\(=\left(x^2+3x\right)^2+2.\left(x^2+3x\right)+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\)là một số chính phương.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

dat 4 so tn lie tiep co dang la a,a+1,a+2,a+3

a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a^2+3a)(a^2+3a+2)+1

=(a^2+3a+1-1)(a^2+3a+1+1)+1

(a^2+3a+1)^2-1+1=(a^2+3a+1)^2 la so cp

gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a;a+1;a+2;a+3. điều kiện : a\(\in\)N .

Ta xét: a(a+1)(a+2)(a+3) +1 = [a(a+3)][(a+1)(a+2)] +1

                                             = (a²+3a)(a²+3a+2) +1

                                             = (a²+3a+1-1)(a²+3a+1+1) +1

                                             = (a²+3a+1)² - 1+1

                                             = (a²+3a+1)² => Điều phải chứng minh

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3\(\left(n\in N\right)\)

Theo đề bài ra chúng ta có : n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = n.(n+3)(n+1)(n+2)+1

= (n²+3n)(n²+3n+2)+ 1 (*) Đặt n²+3n = t\(\left(t\in N\right)\)thì (*) = t(t+2)+1 = t²+2t+1 = (t+1)²

= (n²+3n+1)² Vì\(n\in N\)nên suy ra : (n²+3n+1)\(\in N\)

=> Vậy n(n+1)(n+2)(n+3) là 1 số chính phương. 

Gọi 4 số đó là a  ;  a+1   ;   a+2   ; a+3

a(a+1)(a+2)(a+3)+1=(a(a+3))((a+1)(a+2))+1=(a²+3a)(a²+3a+2)+1

Đặt b=a²+3a

b(b+2)+1=b²+2b+1=(b+1)² chính phương

 ta có: (n-1)n(n+1)(n+2) +1=[n(n+1)][(n-1)(n+2)] +1 
=(n^2 +n)(n^2 +n -2) +1 (*) 
Đặt n^2 +n =a 
(*)<=> a(a-2) +1= a^2 -2a+1= (a-1)^2 là số chính phương 
=>điều phải chứng minh 

Tick nha Thanh Nguyễn Vinh

đặt là S=(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4)+1.Số 1 để im,nhân n+1 và n+4,n+2 và n+3.Trong 2 thừa số đó bạn bạn đặt là P*(P+2)+1=P²+2*P*1+1² là thành hằng đẳng thức.Suy ra nó là 1 SCP