Cho a, b, c là các số thực không âm có tổng bằng 2. Tìm\(maxA\)
\(A=\left(3a^2-2ab+3b^2\right)\left(3b^2-2bc+3c^2\right)\left(3c^2-2ca+3a^2\right)\)
Cho các số thực a, b, c không âm thỏa \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). Tìm GTNN của \(P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
???????????????loằng ngoằng quá. Tui không hỉu cái GTNN
GTNN là tắt của giá trị nhỏ nhất,
Trong bài này bạn biến đổi sao cho biểu thức \(P\ge a\) (số a là số biết trước)
VD: Bạn đưa về dạng nào đó của biểu thức mà nó luôn lớn hơn hoặc bằng \(\dfrac{1}{3}\) Bạn có thể viết \(P\ge\dfrac{1}{3}\) thì GTNN của \(P=\dfrac{1}{3}\) hay \(minP=\dfrac{1}{3}\)
Tìm được GTNN rồi thì bạn tìm ẩn để dấu "=" xảy ra, nghĩa là để BĐT xảy ra dấu =, lúc đó biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất,
VD như: \(minP=\dfrac{1}{3}\) <=> Dấu = xảy ra
<=> x = b (x là ẩn và b là biết trước)
Ở một số bài có thể cho điều kiện của ẩn.
Cho các số thực a;b;c thỏa mản:
CMR: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
Giúp mk với ạ
$a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3\geq 2(a^3b+b^3c+c^3b)$
BĐT cần cm $\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+ab^3+bc^3+ca^3- 2(a^3b+b^3c+c^3b)\geq 0$
$VT=\frac{1}{2}(a^2-b^2+bc-ba)^2+\frac{1}{2}(b^2-c^2+ac-bc)^2+\frac{1}{2}(c^2-a^2+ab-ac)^2\geq 0$
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{3a^3+7b^3}{2a+3b}+\dfrac{3b^3+7c^3}{2b+3c}+\dfrac{3c^3+7a^3}{2c+3a}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)
\(BDT\Leftrightarrow2a^4b+2b^4c+2c^4a+3ab^4+3bc^4+3ca^4\ge5a^2b^2c+5a^2bc^2+5ab^2c^2\)
Ta chứng minh được \(ab^4+bc^4+ca^4\ge a^2b^2c+a^2bc^2+ab^2c^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
\(VT=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{bc}+\dfrac{c^4}{ac}\)
\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=VP\)
Vậy ta cần chứng minh \(2a^4b+2b^4c+2c^4a+2ab^4+2bc^4+2ca^4\ge4a^2b^2c+4a^2bc^2+4ab^2c^2\)
\(\Leftrightarrow\sum_{cyc}\left(2c^3+bc^2-b^2c+ac^2-a^2c+3ab^2+3a^2b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Em có cách này tuy nhiên không chắc,do em mới học sos thôi,mong mọi người giúp đỡ ạ!
BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{7b^3+3ab^2-7a^2b-3a^3}{2a+3b}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{7b\left(b^2-a^2\right)+3a\left(b^2-a^2\right)}{2a+3b}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(\frac{\left(b^2-a^2\right)\left(7b+3a\right)}{2a+3b}-2\left(b^2-a^2\right)\right)\ge0\) (ta không cần cộng thêm \(\Sigma_{cyc}2\left(b^2-a^2\right)\) vì \(\Sigma_{cyc}2\left(b^2-a^2\right)=\Sigma_{cyc}2\left(b^2-a^2+c^2-b^2+a^2-c^2\right)=0\))
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\left(b^2-a^2\right)\left(\frac{7b+3a-4a-6b}{2a+3b}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{2a+3b}\ge0\)
P/s: Hình như có gì đó sai sai ạ,mong mọi người check hộ em!Em cảm ơn nhiều ạ!
Giúp mình bài này với ạ :))
Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3a^2+2ca+3a^2}\)
\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
giúp mình với ạ =))
với a,b,c≥0 thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\).Tìm GTNN của
Q=\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
Cho các số thực a,b,c. CMR :
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)
This's Vasc'inequality .See more here :Câu hỏi của Neet - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Ap dug cosi thoj
a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2
=>2a^3/b +b^2>=3a^2
tuong tu
2b^3/c +c^2 >=3.b^2
2c^3/a +a^2 >=3.c^2
cog lai ta dc
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2
mat khc
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca
nen
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca
dau = xay ra khi a=b=c
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{\frac{bc}{a\left(3b+a\right)}}+\sqrt{\frac{ca}{b\left(3c+b\right)}}+\sqrt{\frac{ab}{c\left(3a+c\right)}}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)thì \(x,y,z>0\)và ta cần chứng minh \(\frac{x}{\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z}{\sqrt{3yz+xy}}\ge\frac{3}{2}\)\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{x\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng phân thức, ta có: \(\frac{x^2}{x\sqrt{3zx+yz}}+\frac{y^2}{y\sqrt{3xy+zx}}+\frac{z^2}{z\sqrt{3yz+xy}}\ge\)\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x\sqrt{3zx+yz}+y\sqrt{3xy+zx}+z\sqrt{3yz+xy}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: \(x\sqrt{3zx+yz}+y\sqrt{3xy+zx}+z\sqrt{3yz+xy}\)\(=\sqrt{x}.\sqrt{3zx^2+xyz}+\sqrt{y}.\sqrt{3xy^2+xyz}+\sqrt{y}.\sqrt{3yz^2+xyz}\)\(\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]}\)
Ta cần chứng minh \(\sqrt{\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]}\le\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^4\ge\frac{9}{4}\left(x+y+z\right)\left[3\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\right]\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^3\ge\frac{27}{4}\left(xy^2+yz^2+zx^2+xyz\right)\)(*)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(y=mid\left\{x,y,z\right\}\)thì khi đó \(\left(y-x\right)\left(y-z\right)\le0\Leftrightarrow y^2+zx\le xy+yz\)
\(\Leftrightarrow xy^2+zx^2\le x^2y+xyz\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2+xyz\le\)\(x^2y+yz^2+2xyz=y\left(z+x\right)^2=4y.\frac{z+x}{2}.\frac{z+x}{2}\)
\(\le\frac{4}{27}\left(y+\frac{z+x}{2}+\frac{z+x}{2}\right)^3=\frac{4\left(x+y+z\right)^3}{27}\)
Như vậy (*) đúng
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \(2bc\left(b+2c\right)+2ac\left(c-2a\right)-2ab\left(a+2b\right)-7abc\)
b) \(3bc\left(3b-c\right)-3ac\left(3c-a\right)-3ab\left(3a+b\right)+28abc\)
c) \(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2abc\)
Cô quản lí làm nhanh giúp e với ạ!!! BẠn e nhờ e gửi cho cô!!!
cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\) . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
Mình đặt biểu thức đó là P
Ta có : \(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}=\sqrt{\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{2\left(a+b\right)^2}=\sqrt{2}\left(a+b\right)\)
Tương tự ta cũng có :
\(\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}\ge\sqrt{2}\left(b+c\right)\) , \(\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\ge\sqrt{2}\left(c+a\right)\)
Suy ra : \(P=\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
\(\ge\sqrt{2}\left(a+b\right)+\sqrt{2}\left(b+c\right)+\sqrt{2}\left(c+a\right)\)
\(=2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)
+ ) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM :
\(a+b+c=a+1+b+1+c+1-3\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-3=2.3-3=3\)
Suy ra \(P\ge2\sqrt{2}.3=6\sqrt{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P=6\sqrt{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\\\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=1\\a=b=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c=1\)