\(A=444....444=4.111.....111=4.\frac{10^{2n}-1}{9}\)

\(B=888.....888=8.111.....111=8.\frac{10^n-1}{9}\)

\(\Rightarrow A+2B+4=\frac{4.10^{2n}-4+16.10^n-16+36}{9}=\frac{4.10^{2n}+16.10^n+16}{9}=\left(\frac{2.10^n+4}{3}\right)^2\)

là số hính phương (đpcm)

2) Ta có :

\(x^4+6x^2+25=x^4+10x^2+25-4x^2=\left(x^2+5\right)^2-\left(2x\right)^2\)

\(=\left(x^2-2x+5\right)\left(x^2+2x+5\right)\)(1)

\(3x^4+4x^2+28x+5=\left(3x^4+6x^3+x^2\right)+\left(-6x^3-12x^2-2x\right)+\left(15x^2+30x+5\right)\)

\(=x^2\left(3x^2+6x+1\right)-2x\left(3x^2+6x+1\right)+5\left(3x^2+6x+1\right)\)

\(=\left(x^2-2x+5\right)\left(3x^2+6x+1\right)\)(2)

Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-2x+5\Rightarrow f\left(2011\right)=2011^2-2.2011+5=4040104\)

 f(x) = x⁴ + 6x³ +11x² + 6x 

\(=x^4+x^3+5x^3+5x^2+6x^2+6x\)

\(=\left(x^4+x^3\right)+\left(5x^3+5x^2\right)+\left(6x^2+6x\right)\)

\(=x^3\left(x+1\right)+5x^2\left(x+1\right)+6x\left(x+1\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^3+5x^2+6x\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=x\left(x+1\right)\left[x^2+2x+3x+6\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left[\left(x^2+2x\right)+\left(3x+6\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left[x\left(x+2\right)+3\left(x+2\right)\right]\)

\(=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

b)Ta có

\(f\left(x\right)+1=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+1\)

\(=\left[x\left(x+3\right)\right].\left[\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right]+1\)

\(=\left(x^2+3x\right).\left(x^2 +3x+2\right)+1\)

\(=\left(x^2+3x+1-1\right).\left(x^2+3x+1+1\right)+1\)

\(=\left[\left(x^2+3x+1\right)-1\right].\left[\left(x^2+3x+1\right)+1\right]+1\)

\(=\left(x^2+3x+1\right)^2-1+1=\left(x^2+3x+1\right)^2\)

Vậy với mọi x nguyên thì f(x) + 1 luôn có giá trị là 1 số chính phương 

\(x^3-9x^2+26x-24\)

\(=x^3-4x^2-5x^2+20x+6x-24\)

\(=\left(x-4\right)\left(x^2-5x+6\right)\)

\(=\left(x-4\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\)

a.(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]-24=(\(x^2+5x+4\))(\(x^2+5x+6\))-24  (1)

đặt \(x^2+5x+5=a\)ta có (1)=(a-1)(a+1)-24=\(a^2-25=\left(a-5\right)\left(a+5\right)\)

thay a=\(x^2+5x+5\)vào (1) ta có (1)=(\(x^2+5x\)+5-5)(\(x^2+5x\)+5+5)=x(x+5)(\(x^2\)+5x+10)

b.ta có :\(\frac{a}{3}+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{6}=\frac{2a+3a^2+a^3}{6}=\frac{a\left(a^2+3a+2\right)}{6}\)=\(\frac{a\left(a^2+2a+a+2\right)}{6}=\frac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{6}\).ta lại có a(a+1)(a+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6 suy ta điều cần cm

SORY I'M I GRADE 6

????????

mày hỏi vả bài kiểm tra à thằng điên 

2.a) (ko phân tích được, bạn coi lại nhé)

b) phần còn lại của chứng minh là gì thế bạn?