Question

1. Cho a là số nguyên. Chứng minh M = ( a + 1 ) ( a + 2 ) ( a + 3 ) ( a + 4 ) + 1 là bình phương của một số nguyên

2. Phân tích đa thức thức thành nhân tử : 

( x^2 + x + 1 ) ( x^2 + x + 2 ) - 12

Answer 1

1. \(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(=\left[\left(a+1\right)\left(a+4\right)\right]\left[\left(a+2\right)\left(a+3\right)\right]+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)^2+2\left(a^2+5a+4\right)+1\)

\(=\left(a^2+5a+5\right)^2\) 

=> Đpcm

Answer 2

M = ( a + 1 )( a + 2 )( a + 3 )( a + 4 ) + 1

    = [ ( a + 1 )( a + 4 ) ][ ( a + 2 )( a + 3 ) ] + 1

    = [ a² + 5a + 4 ][ a² + 5a + 6 ] + 1

Đặt t = a² + 5a + 4

M <=> t[ t + 2 ] + 1

      = t² + 2t + 1

      = ( t + 1 )²

      = ( a² + 5a + 4 + 1 )² = ( a² + 5a + 5 )² ( đpcm )

( x² + x + 1 )( x² + x + 2 ) - 12 (*)

Đặt t = x² + x + 1

(*) <=> t( t + 1 ) - 12

       = t² + t - 12

       = t² - 3t + 4t - 12

       = t( t - 3 ) + 4( t - 3 )

       = ( t - 3 )( t + 4 )

       = ( x² + x + 1 - 3 )( x² + x + 1 + 4 )

       = ( x² + x - 2 )( x² + x + 5 )

       = ( x² + 2x - x - 2 )( x² + x + 5 )

       = [ x( x + 2 ) - 1( x + 2 ) ]( x² + x + 5 )

       = ( x + 2 )( x - 1 )( x² + x + 5 )

Answer 3

2. Đặt  \(t=x^2+x+1\)

pt \(\Leftrightarrow t\left(t+1\right)-12\)

\(=t^2+t-12\)

\(=t^2+4t-3t-12\)

\(=t\left(t+4\right)-3\left(t+4\right)\)

\(=\left(t-3\right)\left(t+4\right)\)

Thay vào ta được \(\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x+5\right)\)