a. Với m=6 thì phương trình (1) có dạng 

x^2 - 5x +4= 0

<=> (x-1)(x-4)=0

<=> x=1 hoặc x=4

Vậy m=6 thì phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=4

b. Xét \(\text{ Δ}=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-2\right)=33-4m\)

Để (1) có nghiệm phân biệt khi \(m< \dfrac{33}{4}\)

Theo Vi-et ta có: \(x_1x_2=m-2;x_1+x_2=5\)

Để 2 nghiệm phương trình (1) dương khi m>2

Ta có:

\(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\dfrac{2}{\sqrt{x_1x_2}}=\dfrac{9}{4}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}+\dfrac{2}{\sqrt{x_1x_2}}=\dfrac{9}{4}\\ \Leftrightarrow\dfrac{5}{m-2}+\dfrac{2}{\sqrt{m-2}}=\dfrac{9}{4}\Leftrightarrow20+8\sqrt{m-2}=9\left(m-2\right)\\ \Leftrightarrow\left(\sqrt{m-2}-2\right)\left(9\sqrt{m-2}+10\right)=0\Leftrightarrow\sqrt{m-2}=2\Leftrightarrow m-2=4\Leftrightarrow m=6\left(t.m\right)\)

)2+3(x+1)2{7x2−22x+28=(2x−1)2+3(x−3)27x2+8x+13=(2x−1)2+3(x+2)231x2+14x+4=7(2x−1)2+3(x+1)2

Do đó: 

VT≥3–√|3−x|+3–√|x+2|+3–√|x+1|≥3–√(3−x)+3–√(x+2)+3–√(x+1)=33–√(x+2)VT≥3|3−x|+3|x+2|+3|x+1|≥3(3−x)+3(x+2)+3(x+1)=33(x+2)

to gefhfhdgtggg

GGGGGG

GGGGG

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GG

GG

G

G

G

G

G

GG

G

GGG

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GG

G

G

G

G

G

G

G

GG

G

GG

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GG

GG

G

G

G

GG

GGGGG

G

G

G

G

G

G

G

GGGGG

G

G

GG

GG

GG

G

G

G

GGG

G

G

GG

G

GGG

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

GG

GG

G

G

GG

F

E

RE

R

ER

\\\\\\]

YYYYYYYYY

CMMCMMCMMCMMCMMMCMCMMCMCMCMC

N

G

U

V

L

AHIHI

Ta có \(\sqrt{7x^2-22x+28}=\sqrt{\left(2x+1\right)^2+3\left(3-x\right)^2}\ge\sqrt{3}\left(3-x\right)\)

\(\sqrt{7x^2+8x+13}=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3\left(x+2\right)^2}\ge\sqrt{3}\left(x+2\right)\)

\(\sqrt{31x^2+14x+4}=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3\left(3x+1\right)^2}\ge\sqrt{3}\left(3x+1\right)\)

Cộng các Bất Đẳng Thức trên ta được

\(\sqrt{7x^2-22x+28}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{31x^2+14x+4}\ge3\sqrt{3}\left(x+2\right)\)

Do đó phương trình tương đương với dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{matrix}2x-1=0\\3-x\ge0\\x+2\ge0\\3x+1\ge0\end{matrix}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}}\)

ĐKXĐ \(3x^2-5x+1\ge0;x^2-2\ge0;x^2-x-1\ge0\)

Ta có : \(\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3.\left(x^2-x-1\right)}-\sqrt{x^2-3x+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x^2-5x+1-3.\left(x^2-x-1\right)}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}}=\dfrac{x^2-2-x^2+3x-4}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}}=\dfrac{3x-6}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\\dfrac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}+\dfrac{2}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}}=0\left(∗\right)\end{matrix}\right.\)

Xét phương trình (*) ta có VT > 0 \(\forall x\) mà VP = 0

nên (*) vô nghiệm

Vậy x = 2 là nghiệm phương trình 

ĐKXĐ : \(x\ge5\)

Ta có \(x-3\sqrt{x}+4=2\sqrt{x-5}\)

\(\Leftrightarrow x-3\sqrt{x}=2\left(\sqrt{x-5}-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)=2.\dfrac{x-9}{\sqrt{x-5}+2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3=0\\\sqrt{x}=\dfrac{2.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\end{matrix}\right.\)

Với \(\sqrt{x}-3=0\Leftrightarrow x=9\left(tm\right)\)

Với \(\sqrt{x}=\dfrac{2.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\Leftrightarrow\sqrt{x}.\sqrt{x-5}=6\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x-36=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\left(tm\right)\\x=-4\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm \(S=\left\{9\right\}\)

\(\sqrt{x-2}+\sqrt{6-x}\text{=}\sqrt{x^2-8x+24}\)

\(ĐKXĐ:2\le x\le6\)

Xét VP của pt ta thấy : \(\sqrt{x^2-8x+24}\text{=}\sqrt{x^2-8x+16+8}\)

\(\text{=}\sqrt{\left(x-4\right)^2+8}\)

\(\Rightarrow VP\ge\sqrt{8}\)

Xét VT của pt ta có :

\(VT^2\text{=}x-2+6-x+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\)

\(VT^2\text{=}4+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\)

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số không âm ta có :

\(2\sqrt{\left(x-2\right)\left(6-x\right)}\le\left(\sqrt{x-2}\right)^2+\left(\sqrt{6-x}\right)^2\)

\(\text{=}x-2+6-x\text{=}4\)

\(\Rightarrow VT^2\le8\)

\(\Rightarrow VT\le\sqrt{8}\)

Để \(VT\text{=}VP\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-4\text{=}0\\\sqrt{x-2}\text{=}\sqrt{6-x}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=4\left(TM\right)\)

Vậy...........

Giải bằng bất đẳng thức Cô si: (ĐK: \(x^2-x+1\ge0;-2x^2+x+2\ge0;x^2-4x+7\)
Ta có: \(x^2-x+1+1\ge2\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow\sqrt{x^2-x+1}\le\dfrac{x^2-x+2}{2}\left(1\right)\\ T,T:\sqrt{-2x^2+x+2}\le\dfrac{-2x^2+x+3}{2}\left(2\right)\\ \left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{-2x^2+x+2}\le\dfrac{x^2-x+2-2x^2+x+3}{2}=\dfrac{-x^2+5}{2}\\ \Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{-2x^2+x+2}-\dfrac{x^2-4x+7}{2}\le\dfrac{-x^2+5-x^2+4x-7}{2}\\ =\dfrac{-2x^2+4x-2}{2}\\ =-x^2+2x-1 \\ \Rightarrow-\left(x-1\right)^2\ge0\)
Điều này chỉ thỏa 1 điều kiên khi x-1=0 ⇔x=1(nhận
Vậy x=1 là nghiệm cuả phương trình

\(\Leftrightarrow2x^2+2+2\sqrt{\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=2x^2+4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^4+x^2+1}=1\)

\(\Leftrightarrow x^4+x^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)

`\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}=\sqrt{2x^2+4}`

`<=>2x^2+2+2\sqrt{x^4+x^2+1}=2x^2+3`

`<=>\sqrt{x^4+x^2+1}=1`

`<=>x^4+x^2=0`

`<=>x=0`