góc COB=40+110=150 độ

=>sđ cung nhỏ BC=150 độ

sđ cung lớn BC=360-150=210 độ

a: góc EAB=1/2*90=45 độ

=>góc AEB=45 độ

b: góc EFD=góc FAB+góc FBA=90 độ+góc DAB

góc ECD+góc ACD=180 độ

=>góc ECD=góc DBA

=>góc EFD+góc ECD=180 độ

=>CDFE nội tiếp

a) Vì TO là đường kính \(\Rightarrow\angle TMO=90\) mà \(M\in\left(O\right)\Rightarrow TM\) là tiếp tuyến của (O)

b) Xét \(\Delta TMC\) và \(\Delta TDM:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MTDchung\\\angle TMC=\angle TDM\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TMD\sim\Delta TCM\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{TC}{TM}=\dfrac{TM}{TD}\Rightarrow TC.TD=TM^2\)

c) Vì đường tròn đường kính TO có tâm I và đường tròn (O) cắt nhau tại M và N \(\Rightarrow\) IO là trung trực của MN \(\Rightarrow MN\bot TO\)

mà \(\Delta TMO\) vuông tại M \(\Rightarrow TM^2=TE.TO\) (hệ thức lượng)

mà \(TC.TD=TM^2\Rightarrow TC.TD=TE.TO\Rightarrow\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\)

Xét \(\Delta TEC\) và \(\Delta TDO:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OTDchung\\\dfrac{TC}{TE}=\dfrac{TO}{TD}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta TEC\sim\Delta TDO\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle TEC=\angle TDO\Rightarrow ODCE\) nội tiếp

a) Ta có 

EB là tiếp tuyến đg (O) => FB vg vs OB  => góc EBO = 90

Mà I là trung điểm của AC => OI vg vs AC => góc OIE = 90

=> t/g IOBE nội tiếp

b) Vì EB là tiếp tuyến 

Góc EBC = góc BAC = 1/2 sđ cung EC

=> góc EBC = góc => EAB 

Xét tam giác EBC và tam giác EAB có

Góc EBC = góc EAB (cmt)

Góc E chung

=> tam giác EBC đồng vs tam giác EAB (gg)

=> EB/EA = EC/EB

=> EB^2 = EA.EC

Theo giả thiết: Vì số đo cung \(\stackrel\frown{AC}=40^o\)

\(\Rightarrow\) Góc ở tâm \(\widehat{AOC}=40^o\)

Trường hợp 1: C thuộc cung nhỏ \(\stackrel\frown{AB}\)

- Số đo góc ở tâm \(\widehat{BOC}=\widehat{AOB}-\widehat{AOC}=110^o-40^o=70^o\)

Do vậy:

- Số đo cung nhỏ \(\stackrel\frown{BC}=70^o\)

- Số đo cung lớn \(\stackrel\frown{BC}=360^o-70^o=290^o\)

Trường hợp 2: C thuộc cung lớn \(\stackrel\frown{BC}\)

- Số đo góc ở tâm \(\widehat{BOC}=\widehat{BOA}+\widehat{AOC}=110^o+40^o=150^o\)

Do vậy:

- Số đo cung nhỏ \(\stackrel\frown{BC}=150^o\)

- Số đo cung lớn \(\stackrel\frown{BC}=360^o-150^o=210^o\)

a) Vì AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\Rightarrow AC\bot BC\)

mà \(ON\bot BC\) (N là điểm chính giữa cung BC)

\(\Rightarrow CK\parallel EN\) mà \(NK\bot KC\Rightarrow NK\bot EN\)

\(\Rightarrow\angle KCE=\angle KNE=\angle CEN=90\Rightarrow ECKN\) là hình chữ nhật

\(\angle KNO=90\Rightarrow KN\) là tiếp tuyến

b) ECKN là hình chữ nhật \(\Rightarrow ECKN\) cũng nội tiếp

\(\Rightarrow\angle KEN=\angle KCN=\angle CNE\) \((KC\parallel NE)\)

Vì \(AC\parallel ND\) mà ACND nội tiếp \(\Rightarrow ACND\) là hình thang cân

\(\Rightarrow\angle CNE=\angle ADN\Rightarrow\angle KEN=\angle ADN\) \(\Rightarrow KE \parallel AD\)

mà \(KA\parallel ED\) \(\Rightarrow KEDA\) là hình bình hành

c) Vì \(\left\{{}\begin{matrix}MO\bot AC\\NK\bot AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow MO\parallel NK\) \(\Rightarrow\dfrac{NI}{IM}=\dfrac{NK}{MO}\Rightarrow\dfrac{NI}{NK}=\dfrac{MI}{MO}=\dfrac{MI}{R}\)

Vì M,N lần lượt là điểm chính giữa cung AC,BC \(\Rightarrow\angle MON=90\)

\(\Rightarrow MN=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R\)

Ta có: \(\dfrac{NI}{NK}+\dfrac{NI}{NO}=\dfrac{MI}{R}+\dfrac{NI}{R}=\dfrac{MI+NI}{R}=\dfrac{MN}{R}=\dfrac{\sqrt{2}R}{R}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow NI\left(\dfrac{1}{NK}+\dfrac{1}{NO}\right)=\sqrt{2}\Rightarrow\dfrac{\sqrt{2}}{NI}=\dfrac{1}{NK}+\dfrac{1}{NO}\)

b: Xét ΔAON vuông tại O và ΔAMB vuông tại M co

góc OAN chung

=>ΔAON đồng dạngvới ΔAMB

=>AO/AM=AN/AB

=>AO*AB=AM*AN

bn tk hén: