Đặt \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\Rightarrow a^2+b^2=5\) (1)

Đường thẳng d nhận \(\left(3;-4\right)\) là 1 vtpt nên cũng nhận \(\overrightarrow{u}=\left(4;3\right)\) là 1 vtcp

\(sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow cos\alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|a.4+b.3\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{4^2+3^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow\left|4a+3b\right|=5\) (2)

Từ (1) và (2) ta được hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=5\\\left|4a+3b\right|=5\end{matrix}\right.\)

Phá trị tuyệt đối, sử dụng phép thế để giải hệ ta được:

\(\left(a;b\right)=\left(-2;1\right);\left(\dfrac{2}{5};-\dfrac{11}{5}\right);\left(2;-1\right);\left(-\dfrac{2}{5};\dfrac{11}{5}\right)\)

Tổng cộng có 4 vecto \(\overrightarrow{v}\) thỏa mãn 

Tới đây bạn tự làm nốt phần tìm ảnh của d nhé

Đường thẳng song song d nên nhận (3;-4) là 1 vtpt

Phương trình:

\(3\left(x-2\right)-4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x-4y-2=0\)

Không hiểu câu hỏi số 2 của em

Ở đây có 2 pt đường tròn khác nhau, vậy (C) là cái nào trong 2 cái trên? Hoặc đề yêu cầu tìm ảnh của cả 2 đường tròn?

1.

a/ Gọi \(M\left(x;y\right)\) là 1 điểm bất kì thuộc d \(\Rightarrow x-y+3=0\) (1)

Gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là ảnh của M qua phép tịnh tiến vecto \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

Theo công thức tọa độ phép tịnh tiến:

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x+2\\y'=y-1\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-2\\y=y'+1\end{matrix}\right.\)

Thế vào (1)  \(\Rightarrow\left(x'-2\right)-\left(y'+1\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow x'-y'=0\)

Vậy pt d' có dạng: \(x-y=0\)

b/ Tương tự như trên, vẫn gọi \(M'\left(x';y'\right)\) là điểm thuộc d' và \(M\left(x;y\right)\) là ảnh của M' qua phép tịnh tiến

\(\Rightarrow M\in d\Rightarrow x-y+3=0\) (2)

Theo công thức tọa độ phép tịnh tiến:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=x'+2\\y=y'-1\end{matrix}\right.\) thế vào (2):

\(x'+2-\left(y'-1\right)+3=0\Leftrightarrow x'-y'+6=0\)

Vậy pt d' có dạng: \(x-y+6=0\)

2.

a. Đường tròn (C) có tâm \(I\left(1;-3\right)\) và bán kính \(R=\sqrt{2}\)

Gọi \(\left(C'\right)\) có tâm \(I'\left(x';y'\right)\) bán kính \(R'\) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến 

\(\Rightarrow R'=R=\sqrt{2}\) và I' là ảnh của I qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=x_I+3=4\\y'=y_I+2=-1\end{matrix}\right.\)

Phương trình (C'): \(\left(x-4\right)^2+\left(y+1\right)^2=2\)

b. Đường tròn (C) tâm \(I\left(2;-1\right)\) bán kính \(R=2\)

...trình bày tương tự như trên:

\(\left\{{}\begin{matrix}x'=x_I+3=5\\y'=y_I+2=1\end{matrix}\right.\)

Phương trình (C'): \(\left(x-5\right)^2+\left(y-1\right)^2=4\)

Gọi là ảnh của qua phép tịnh tiến theo vecto

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x'=x+2\\y'=y+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'-2\\y=y'-3\end{matrix}\right.\)

do M (x' ; y') \(\in\) d nên

\(3x-5y+3=0\)

\(\Rightarrow3\left(x'-2\right)-5\left(y'-3\right)+3=0\)

\(\Leftrightarrow3x'-5y'+12=0\left(d'\right)\)

vậy \(M'\left(x';y'\right)\in d':3x'-5y'+12=0\)

Đường tròn (C) tâm \(I\left(-2;2\right)\) bán kính \(R=3\)

Do d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến nên pt d' có dạng \(4x+3y+c=0\)

d' tiếp xúc (C) \(\Leftrightarrow d\left(I;d'\right)=R\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|-8+6+c\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=3\Rightarrow\left|c-2\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=17\\c=-13\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng d': \(\left[{}\begin{matrix}4x+3y+17=0\\4x+3y-13=0\end{matrix}\right.\)

Chọn \(A\left(0;\frac{1}{3}\right)\in d\)

Gọi A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến T thì \(A'\left(a;2-a+\frac{1}{3}\right)\Rightarrow A'\left(a;\frac{7}{3}-a\right)\)

Do \(A'\in d'\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4a+3\left(\frac{7}{3}-a\right)+17=0\\4a+3\left(\frac{7}{3}-a\right)-13=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-24\\a=-6\end{matrix}\right.\)

Chắc pt d là \(3x+5y+3=0\) ?

Gọi \(\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)\Rightarrow a^2+b^2=2\) (1)

Gọi \(M\left(-1;0\right)\) là 1 điểm thuộc d

Gọi M' là ảnh của M qua phép tịnh tiến \(\overrightarrow{v}\Rightarrow M'\in d'\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{M'}=-1+a\\y_{M'}=b\end{matrix}\right.\) thay vào pt (d') ta được:

\(3\left(-1+a\right)+5b-5=0\)

\(\Leftrightarrow b=\frac{8-3a}{5}\)

Thế vào (1): \(a^2+\left(\frac{8-3a}{5}\right)^2=2\)

\(\Leftrightarrow34a^2-48a+14=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\Rightarrow b=1\\a=\frac{7}{17}\Rightarrow b=\frac{23}{17}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{v}=\left(1;1\right)\\\overrightarrow{v}=\left(\frac{7}{17};\frac{23}{17}\right)\end{matrix}\right.\)

điểm M đặt bao nhiêu cũng được à bạn? tại thầy mình hay lấy mấy điểm là (0,1) :V

Đề bài thiếu, có vô số cách tịnh tiến để biến 1 đường thẳng này thành đường thẳng khác

Cần thêm 1 dữ liệu nữa để tính được vecto v, ví dụ độ dài của nó hay nó vuông góc, song song với đường nào

Gọi M là giao điểm của \(d_1\) và \(d_2\Rightarrow\) toạ độ M là nghiệm của hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y+5=0\\2x+4y-7=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-\frac{3}{8};\frac{31}{16}\right)\)

Do \(d//d_3\Rightarrow d\) nhận \(\overrightarrow{n_d}=\left(3;4\right)\) là 1 vtpt

Phương trình d:

\(3\left(x+\frac{3}{8}\right)+4\left(y-\frac{31}{16}\right)=0\Leftrightarrow24x+32y-53=0\)