Cho tam giác ABC cạnh BC cố định,đỉnh A di động.Kẻ phân giác AD của tam giác.Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác AD tại N.Gọi M là trung điểm của AC tại . Chứng minh rằng khi đỉnh A di động thì đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
Cho tam giác ABC cân tại A .M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AC .Chứng minh rằng AM cố định ,B và C di động trên đường thẳng vuông góc với AM sao cho tam giác ABC cân tại A thì sẽ di động trên một đường thẳng cố định
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC tại E.
a) Chứng minh rằng: BD là trung trực của AE và AD<DC.
b) Tia ED cắt tia BA tại F. Chứng minh BD vuông góc với CF và AE//CF.
c) Tia BD cắt FC tại G. Chứng minh rằng D cách đều ba cạnh của tam giác AEG.
d) Lấy M và N tương ứng di động trên BF và BC sao cho BM+BN=BC. Chứng minh rằng trung điểm I của MN luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI (I thuộc BC). Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H. Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F. Chứng minh:
a) Đường trung trực của EF luôn đi qua đỉnh A của tam giác ABC;
b) Khi H di động trên đoạn thẳng ỈC thì đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố định.
tam giác ABC vuông tại tại A , góc B=60 độ .Tia phân giác của góc B cắt AC tại I . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho AB=BD và DI vuông góc với BC . D là trung điểm của BC
a) AB cắt DI tại K . Chứng minh tam giác KIC cân
b) Chứng minh AD//KC
c) gọi M là trung điểm của KC . Chứng minh B,I,M thẳng hàng
a: Xét ΔAIK vuông tại A và ΔDIC vuông tại D có
IA=ID
\(\widehat{AIK}=\widehat{DIC}\)
Do đó: ΔAIK=ΔDIC
Suy ra: IK=IC
hay ΔIKC cân tại I
b: Xét ΔBKC có BA/AK=BD/DC
nên AD//KC
c: Ta có: BK=BC
nên B nằm trên đường trung trực của KC(1)
ta có: IK=IC
nên I nằm trên đường trung trực của KC(2)
Ta có: MK=MC
nên M nằm trên đường trung trực của KC(3)
Từ (1), (2)và (3) suy ra B,I,M thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuoong cân tại C. AD là đường phân giác cảu tam giác ABC( D thuộc BC ). Gọi I là trung điểm của đoạn AD. Đường thẳng qua I và vuông góc với Ad cắt cạnh AC tại M và cắt cạnh BC kéo dài tại N.
a) Chứng minh: tam giac AIN = tam giác DIN
b)Chứng minh: AD > BC
c) Kẻ CE vuông góc với AB( E thuộc AB) đường thẳng CE cắt AD tại K.
Chứng minh rằng: 3 điểm B, K, M thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A.Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho AB=BM.Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại D
a) Chứng minh AD=DM và BD là tia phân giác của góc ABC
b) Chứng minh:AD<DC
c) Giả sử: Góc ABC>45 độ.Chứng minh:\(\frac{BC}{AD}>\sqrt{2}\)
d) Tia phân giác góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC cắt BD tại K.Tính góc BAK
Cho (O;R) và dây cung BC cố định (BC<2R).Điểm A di động trên đường tròn sao cho tam giác ABC nhọn,Gọi AD là đường cao của tam giác ABC và H là trực tâm tam giác ABC
a)Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài góc BHC cắt AB,AC lần lượt tại M,N.Chưng minh tam giác AMN cân
b)Gọi E,F lần lượt là hình chiếu của D trên BH,CH.Chứng minh OA vuông goác với EF
c)Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác góc trong của goác BAC tại K.Chứng minh rằng đường thẳng HK luôn đi qua 1 điểm cố định
a) Ta thấy \(\widehat{AMN}=\widehat{ABH}+\frac{1}{2}\widehat{BHQ}=\widehat{ACH}+\frac{1}{2}\widehat{CHP}=\widehat{ANM}\). Suy ra \(\Delta AMN\) cân tại A.
b) Dễ thấy tứ giác BEFC và BQPC nội tiếp, suy ra \(\widehat{HEF}=\widehat{HCB}=\widehat{HPQ}\), suy ra EF || PQ
Hiển nhiên \(OA\perp PQ\). Do đó \(OA\perp EF.\)
c) Gọi MK cắt BH tại I, NK cắt CH tại J, HK cắt BC tại S.
Vì A,K là trung điểm hai cung MN của (AMN) nên AK là đường kính của (AMN)
Suy ra \(MK\perp AB,NK\perp AC\)hay MK || CH, NK || BH
Ta có \(\Delta BHQ~\Delta CHP\), theo định lí đường phân giác và Thales thì:
\(\frac{IH}{IB}=\frac{MQ}{MB}=\frac{NP}{NC}=\frac{JH}{JC}\). Suy ra IJ || BC
Cũng từ MK || CH, NK || BH suy ra HIKJ là hình bình hành hay HK chia đôi IJ
Do vậy HK chia đôi BC theo bổ đề hình thang. Vậy HK đi qua S cố định.
cho tam giác ABC vuông tại B ,có góc A =60 độ .vẽ đường phân giác AD ( D thuộc BC ) .Qua D dựng đường thẳng vuông góc với AC tại M và cắt AB tại N . gọi I là giao điểm của AD và BM . Chứng minh
a, tam giác BAD = tam giác MAD
b, AD là đường trung trực của đoạn thẳng BM
c, chứng minh điểm D cách đều ba đỉnh ba cạch của tam giác ACN
a) XÉT \(\Delta BAD\)VÀ \(\Delta MAD\)CÓ
\(\widehat{ABD}=\widehat{AMD}=90^o\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(GT\right)\)
AD LÀ CẠNH CHUNG
=>\(\Delta BAD\)=\(\Delta MAD\)( CH-GN)
B) VÌ \(\Delta BAD\)=\(\Delta MAD\)(CMT)
\(\Rightarrow BA=MA\)HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG
\(\Rightarrow\Delta ABM\) CÂN TẠI A
MÀ \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(GT\right)\)
=> AI LÀ PHÂN GIÁC CỦA \(\widehat{BAM}\)
MÀ TRONG TAM GIÁC CÂN TIA PHÂN GIÁC CŨNG LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC
=> AI LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐỌAN BM
MÀ I NẰM TRÊN ĐỌAN AD
=> AD LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐỌAN BM
C)
chứng minh DH=DB=DM
sao đó là mà D là điểm nằm trog tam giác acn
=> d cách đều các cạnh tam giác acn
Cho tam giác ABC vuông tại B có A = 60 độ. Vẽ đường phân giác AD (D thuộc BC). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại M và cắt đường thẳng AB tại N.
Chứng minh rằng: tam giác ABC đều và M là trung điểm của AC.
Xét ΔDAC có góc DAC=góc DCA
nên ΔDAC cân tại D
=>M là trung điểm của AC