Dễ thấy các hệ số tương đồng nhau nên có thể biến đổi bđt về dạng sau : 

\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\right)+\left(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\right)\ge5\)

Ta đi chứng minh bđt phụ sau : \(\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2a}{3}\)(1)

\(Bđt\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}-\frac{7}{3}+\frac{2a}{3}\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\frac{3+2a^4-7a^2+2a^3}{3a^2}\ge0\)

              \(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^4-2a^2+1\right)+2a^3-3a^2+1}{3a^2}\ge0\)

           \(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2-1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a^2-1\right)}{3a^2}\ge0\)

         \(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)^2+2a^2\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\left(a+1\right)}{3a^2}\ge0\)

       \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+2a^2-a-1\right]}{3a^2}\ge0\)

     \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)\left[2\left(a-1\right)\left(a+1\right)^2+\left(a-1\right)\left(2a+1\right)\right]}{3a^2}\ge0\)

    \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2\left[2\left(a+1\right)^2+2a+1\right]}{3a^2}\ge0\)(Luôn đúng do a > 0 nên [...] > 0)

Dấu "=" <=> a = 1

Thiết lập các bđt còn lại \(\frac{1}{b^2}+\frac{2b^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2b}{3}\)

                                      \(\frac{1}{c^2}+\frac{2c^2}{3}\ge\frac{7}{3}-\frac{2c}{3}\)

Cộng 3 vế của bdtd lại ta được

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{3}\ge7-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=7-\frac{2.3}{3}=5\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Tìm điểm rơi a=b=c=1 Min=5

Rồi áp dụng UCT giải

\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{b^2+c^2+2}+\frac{1}{c^2+a^2+2}\le\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có :

\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)

\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)

\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)

Ta cần chứng minh :

\(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) luôn đúng 

Chúc bạn học tốt !!!

hoang viet nhat copy nhớ ghi nguồn nha bạn:))Link 

Mà quan trọng là copy mà bạn có hiểu không là chuyện khác:) Bạn hãy giải thích tại sao:

\(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+^2+c^2}\)

bđt phụ sai mà cũng ko đc chuẩn hóa

\(\frac{ab}{a^2+b^2}\le\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}\)

tương tự \(\frac{\Rightarrow ab}{a^2+b^2}+\frac{bc}{b^2+c^2}+\frac{ac}{a^2+c^2}\le\frac{3}{2}\)

=>Thắng Nguyễn :cm theo cách đó sai

SOS cho khỏe :v 

WLOG \(a\ge b\ge c\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(b^2Σ_{cyc}\left(a^3+\frac{4ab}{a^2+b^2}-3\right)=b^2\left(Σ_{cyc}(a^3-abc)-2Σ_{cyc}\left(1-\frac{2ab}{a^2+b^2}\right)\right)\)

\(=b^2Σ_{cyc}(a-b)^2\left(\frac{a+b+c}{2}-\frac{2}{a^2+b^2}\right)=\frac{b^2}{2}Σ_{cyc}\frac{(a-b)^2((a+b+c)(a^2+b^2)-4abc)}{a^2+b^2}\)

\(\ge\frac{b^2}{2}Σ_{cyc}\frac{(a-b)^2((a+b+c)2ab-4abc)}{a^2+b^2}=b^2Σ_{cyc}\frac{(a-b)^2ab(a+b-c)}{a^2+b^2}\)

\(\ge\frac{b^2(a-c)^2ac(a+c-b)}{a^2+c^2}+\frac{b^2(b-c)^2bc(b+c-a)}{b^2+c^2}\)

\(\ge\frac{a^2(b-c)^2ac(a-b)}{a^2+c^2}+\frac{b^2(b-c)^2bc(b-a)}{b^2+c^2}\)

\(=\frac{abc^3(a+b)(b-c)^2(a-b)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)}\ge0\) (đúng :v)

Sang học 24 tìm ai tên Perfect Blue nhé t làm bên đó rồi đưa link thì lỗi ==" , tìm tên đăng nhập  springtime ấy

Chào bác Thắng

cộng mỗi phân thức với 1 xem thế nào Thành

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

=> BDT cần CMR <=> \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\)

Ta có \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)

=>VT\(\ge\frac{a+b+c}{2}\) (Hơi tắt nên tự hiểu)

Ta đi Cm \(\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\)

<=> \(\frac{a+b+c}{2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}\ge3\)(*)

\(\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+b^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}\ge\frac{3}{2}\)

=>VT (*) \(\ge3\). Từ đó ta có dpcm

Kiêm đâu lắm bài bdt hay. Gửi link

bài này sai rồi. t làm gì hả m ng

Ta chứng minh BĐT phụ sau:

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}\ge\dfrac{2a-b}{2}\)

Thật vậy, BĐT tương đương:

\(2a^3-\left(2a-b\right)\left(a^2+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow b\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với a;b dương)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^3+c^3}\ge\dfrac{2b-c}{2}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^3+a^3}\ge\dfrac{2c-a}{2}\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge\dfrac{a+b+c}{2}=3\) (đpcm)

bài này mà giải theo SOS là hơi bị tuyệt vời nhé =)))

em moi co lop 7

em mới có lớp 6 thôi mà