Let \(a,b,c\ge0\) and \(ab+bc+ca+abc=4\). Prove that:
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc\ge10\)
How many beutiful solution on this problem ?
A Funny Topic Inequilities " giải nhiệt mùa hè " :v
Những câu hỏi liên quan
Let \(a,b,c\ge0\) such that \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ne0\) . Prove that:
\(a^3+b^3+c^3+3abc-ab\left(a+b\right)-bc\left(b+c\right)-ca\left(c+a\right)\ge abc\left(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}-3\right)\)
BĐT sau đây vẫn đúng: \(\Sigma a\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge abc\left(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}-3\right)+\frac{16\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^3}\)
Let a,b,c be positive numbers with abc = 1. Prove that
\(a^3+b^3+c^3+2\left[\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3\right]\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Let a;b;c be positive real numbers such that \(a^2+b^2+c^2=\frac{1}{3}\). Prove that :
\(4\left(a+b+c\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge10\)
We have:\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=\frac{1}{3}\\a,b,c>0\end{cases}\Rightarrow0< a,b,c< \frac{1}{\sqrt{3}}}\)
We prove to:
\(4x+\frac{2}{3x}\ge-3x^2+\frac{11}{3}\) with \(0< x< \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow4x+\frac{2}{3x}+3x^2-\frac{11}{3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow9x^3+12x^2-11x+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2\left(x+2\right)\ge0\) Always true to all \(0< x< \frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow VT\ge-3a^2+\frac{11}{3}-3b^2+\frac{11}{3}-3c^2+\frac{11}{3}\)
\(=-3\left(a^2+b^2+c^2\right)+11=-3.\frac{1}{3}+11=10\) \(\left(đpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Đặt biểu thức trên là \(A\)
Ta có : \(A=\left(4a+\frac{2}{3a}\right)+\left(4b+\frac{2}{3b}\right)+\left(4c+\frac{2}{3c}\right)\)
Cần chứng minh \(4a+\frac{2}{3a}\ge-3a^2+\frac{11}{3}\) (*)
Thật vậy \(BĐT\Leftrightarrow4a+\frac{2}{3a}+3a^2-\frac{11}{3}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{12a^2+2+9a^3-11a}{3a}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a+2\right)\left(3a-1\right)^2}{3a}\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự : \(4b+\frac{2}{3b}\ge-3b^2+\frac{11}{3}\) và \(4c+\frac{2}{3c}\ge-3c^2+\frac{11}{3}\)
Cộng các bất dẳng thức vừa CM đc ta có :
\(A\ge-3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{11}{3}.3=-3.\frac{1}{3}+11=10\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Let a,b,c,k be positive real numbers such that kleft(ab+bc+caright)+2abcle k^3 . Prove that:left(1right)kleft(a+b+cright)ge2left(ab+bc+caright)left(2right)kleft(a^3+b^3+c^3right)ge2left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2right)left(3right)kleft(a^{2n-1}+b^{2n-1}+c^{2n-1}right)ge2left(a^nb^n+b^nc^n+c^na^nright) left(nge0;nin Rright)
Đọc tiếp
Let \(a,b,c,k\) be positive real numbers such that \(k\left(ab+bc+ca\right)+2abc\le k^3\) . Prove that:
\(\left(1\right)k\left(a+b+c\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\left(2\right)k\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\left(3\right)k\left(a^{2n-1}+b^{2n-1}+c^{2n-1}\right)\ge2\left(a^nb^n+b^nc^n+c^na^n\right)\) \(\left(n\ge0;n\in R\right)\)
mày bị điên rồi hả câu hỏi thế này làm gì có người giải được
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
19 tháng 10 2019 lúc 17:49
1. cho 0 ale ble c . Cmr: frac{2a^2}{b^2+c^2}+frac{2b^2}{c^2+a^2}+frac{2c^2}{a^2+b^2}lefrac{a^2}{b}+frac{b^2}{c}+frac{c^2}{a}
2. cho a,b,cge0. cmr: a^2+b^2+c^2+3sqrt[3]{left(abcright)^2}ge2left(ab+bc+caright)
3. a,b,c0. Cmr: sqrt{left(a^2b+b^2c+c^2aright)left(ab^2+bc^2+ca^2right)}ge abc+sqrt[3]{left(a^3+abcright)left(b^3+abcright)left(c^3+abcright)}
4. a,b,c0. Tìm Min Pleft(frac{a}{a+b}right)^4+left(frac{b}{b+c}right)^4+left(frac{c}{c+a}right)^4
Đọc tiếp
1. cho \(0< a\le b\le c\) . Cmr: \(\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)
2. cho \(a,b,c\ge0\). cmr: \(a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
3. \(a,b,c>0.\) Cmr: \(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\)
4. \(a,b,c>0\). Tìm Min \(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4\)
2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).
Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.
Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)
BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)
Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)
Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)
Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):
\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)
\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)
\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.
Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(
Cách khác câu 2:Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(a^3,b^3,c^3\right)\)
Có: \(VT-VP=\frac{1}{6} \sum\, \left( 3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \left( a -b \right) ^{2} \left( a+b-c \right) ^{2}+\frac{2}{3} \sum \,{a}^{2}{b}^{2} \left( a -b \right) ^{2} \geq 0\)
Bất đẳng thức trên vẫn đúng trong trường hợp $a,b,c$ là các số thực.
Thật vậy ta chỉ cần chứng minh$:$
\(\frac{1}{6}\sum \left( 3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \left( a -b \right) ^{2} \left( a+b-c \right) ^{2} \geq 0\)
Chú ý \(\sum\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)=0\)
Ta đưa về chứng minh: \(\sum (3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc) \geq 0 \,\,\,\,\,\,(1)\)
Và \(\sum \left( 3\,{a}^{2}+2\,ab+4\,ac+2\,bc+3\,{c}^{2} \right) \left( 3\,{a} ^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \geq 0 \,\,\,\,(2)\)
$(1)$ dễ chứng minh bằng tam thức bậc $2$.
Chứng minh $(2):$
$$\text{VT} = {\frac {196\, \left( a+b+c \right) ^{4}}{27}} + \sum{\frac { \left( a-b \right) ^{2} \left( 47\,a+26\,c+47\,b \right) ^{2}
}{2538}}+\sum {\frac {328\,{c}^{2} \left( a-b \right) ^{2}}{141}} \geq 0$$
Xong.
Đúng 0
Bình luận (0)
Vũ Minh Tuấn, @Nk>↑@, Nguyễn Văn Đạt, Băng Băng 2k6, tth, Nguyễn Thị Diễm Quỳnh, Lê Thị Thục Hiền,
Aki Tsuki, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma
giúp e vs ạ! cần gấp! thanks nhiều!
Xem thêm câu trả lời
CMR nếu a,b,c \(\ge0\) thỏa mãn ab+bc+ca=3 thì \(\frac{1}{abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có: \(\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{4}{4abc\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(ab+bc\right)\left(bc+ca\right)\left(ca+ab\right)}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{1}{2}\ge\frac{3}{\frac{\left(ab+bc\right)+\left(bc+ca\right)+\left(ca+ab\right)}{3}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2abc}+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{9}{2\left(ab+ac+bc\right)}-\frac{1}{2}=1\)
Ta lại có: \(3=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow\frac{1}{abc}\ge1\Rightarrow\frac{1}{2abc}\ge\frac{1}{2}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(a,b,c\ge0;ab+bc+ca=3\) . Tìm Min P:
\(P=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+12\frac{\left(abc\right)^3}{a+b+c}\)
@Nguyễn Lê Phước Thịnh
@Nguyễn Việt Lâm
@Akai Haruma
1/Cho các số thực dương chứng minh:frac{3left(a^4+b^4+c^4right)}{left(a^2+b^2+c^2right)^2}+frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}ge22/Cho a,b dương.Chứng minh:left(frac{a}{b}+frac{b}{a}right)+4sqrt{2}frac{a+b}{sqrt{a^2+b^2}}ge103/ Cho các số thực dương. Chứng minh: left(a^2+2bcright)left(b^2+2caright)left(c^2+2abright)ge abcleft(a+2bright)left(b+2cright)left(c+2aright)
Đọc tiếp
1/Cho các số thực dương chứng minh:\(\frac{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge2\)
2/Cho a,b dương.Chứng minh:\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\sqrt{2}\frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}\ge10\)
3/ Cho các số thực dương. Chứng minh: \(\left(a^2+2bc\right)\left(b^2+2ca\right)\left(c^2+2ab\right)\ge abc\left(a+2b\right)\left(b+2c\right)\left(c+2a\right)\)
CHO TAM GIÁC ABC, ĐẶT ĐỘ DÀI 3 CẠNH BC=a, CA=b, AB=c
CHO BIẾT: \(\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}=\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{a+b}\)
A) CM TAM GIÁC ABC CÂN
B) NẾU CHO THÊM: \(c^4+abc\left(a+b\right)=c^2\left(a^2+b^2\right)+\left(c+b\right)\left(c-b\right)bc+\left(c-a\right)\left(c+a\right)ac\) .TÍNH CÁC GÓC CỦA TAM GIÁC ABC
