Question

Let \(a,b,c\ge0\) and \(ab+bc+ca+abc=4\). Prove that:

\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc\ge10\)

How many beutiful solution on this problem ?

A Funny Topic Inequilities " giải nhiệt mùa hè " :v 

Answer 1

bđt mạnh hơn: \(a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) qua la sen lun

\(\Leftrightarrow\)\(abc\ge\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca+abc\right)-\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}-\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

từ gt dễ có được \(a+b+c\ge3\)

\(\Rightarrow\)\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+abc\ge\frac{11}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{7}{4}\ge\frac{11}{12}\left(a+b+c\right)^2+\frac{7}{4}\ge10\)

"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)

Answer 2

1 lời giải nếu a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác

đặt \(a=\frac{2x}{y+z}b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\) bđt trở thành : 

\(12\Sigma\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2}+\frac{8xyz}{\Pi\left(x+y\right)}=\left(\frac{6x+6y-z}{\Pi\left(x+y\right)}\right)\left(x-y\right)^2+12\Sigma\left(\frac{x}{y+z}-\frac{1}{2}\right)^2+10\ge10\)

Answer 3

BĐT mạnh hơn nữa :3

Cho \(a,b,c\ge0\) và \(ab+bc+ca+abc=4\) Chứng minh rằng:

\(a^2+b^2+c^2+5abc\ge8\)

Làm bài trên tránh loãng topic :v

\(3\left(p^2-2q\right)+r\ge10\)

\(\Leftrightarrow3p^2-6q+r-10\ge0\)

\(\Leftrightarrow3p^2-6q+4-q-10\ge0\)

\(\Leftrightarrow3p^2-7q-6\ge0\)

Mặt khác theo BĐT Schur ta có:\(p^3+9r\ge4pq\Leftrightarrow p^3+9\left(4-q\right)\ge4pq\Leftrightarrow p^3+36\ge q\left(4p+9\right)\)

\(\Rightarrow q\le\frac{p^3+36}{4p+9}\) Cần chứng minh \(3p^2-7\cdot\frac{p^3+36}{4p+9}-6\ge0\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p^2-9p+21\right)\ge0\)

Ta dễ có theo AM - GM: \(q^3\ge27r^2=27\left(4-q\right)^2\) Giả sử rằng \(q< 3\Rightarrow27\left(4-q\right)^2< 27< q^3\) ( vô lý )

Khi đó \(q\ge3\) Mặt khác \(p^2\ge3q\ge9\Rightarrow p\ge3\Rightarrow\left(p-3\right)\left(p^2-9p+21\right)\ge0\) Vậy ta có đpcm.

Gợi ý bài trên cũng sử dụng Schur là cách khá ngắn và đẹp :3 

Answer 4

Bài đầu tiên có thể thay điều kiện thành \(ab+bc+ca+abc\ge4\)

Answer 5

bất đẳng thức tương đương với \(3q^2-6q+r\ge10\Leftrightarrow3q^2-7q-6\ge0\) (*)

theo bđt Schur ta có p³-9r >= 4pq => p³+9(4-q) >= 4pq => q\(\le\frac{36+p^3}{4p+9}\)

thay vào (*) ta có 3p²-7q-6 >= 3p²-7.\(\frac{36+p^3}{4p+9}\)-6 do đó ta cần chứng minh 

3p²-7.\(\frac{36+p^3}{4p+9}\)-6 >=0 <=> (p-3)(5p²+42p+102) >=0  <=> p >=3

ta thấy q³ >= 27r²=27(4-q)². nếu q =< 3 thì q³ =< 27<27(4-q)²<q³ (vô lý)

nên q >= 3 => p>= 3

vậy ta có điều phải chứng minh dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

Answer 6

t SOS cả điều kiện luôn nhé. Vào TKHĐ xem ảnh. i.imgur.com/L7BTQRR.png