Cho các số x,y,z thỏa mãn \(0\le x,y,z\le1\). Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{1+yz}+\frac{y}{1+xz}+\frac{z}{1+xy}\le2\)
cho ba số dương \(0\le x\le y\le z\le1\) chứng minh \(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)
Lời giải:
Vì $0\leq x\leq y\leq z\leq 1\Rightarrow 0\leq xy\leq xz\leq yz$
$\Rightarrow \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\leq \frac{x+y+z}{xy+1}(1)$
Xét $\frac{x+y+z}{xy+1}-2=\frac{x+y+z-2xy-2}{xy+1}=\frac{(x-1)(1-y)+(z-xy-1)}{xy+1}\leq 0$ do $0\leq x\leq y\leq z\leq 1$)
$\Rightarrow \frac{x+y+z}{xy+1}\leq 2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\leq 2$ (đpcm)
Bài này mà lớp 7 á? Nguyễn Thiện Nhân
Lời giải:
Vì 0≤x≤y≤z≤1⇒0≤xy≤xz≤yz0≤x≤y≤z≤1⇒0≤xy≤xz≤yz
⇒xyz+1+yxz+1+zxy+1≤x+y+zxy+1(1)⇒xyz+1+yxz+1+zxy+1≤x+y+zxy+1(1)
Xét x+y+zxy+1−2=x+y+z−2xy−2xy+1=(x−1)(1−y)+(z−xy−1)xy+1≤0x+y+zxy+1−2=x+y+z−2xy−2xy+1=(x−1)(1−y)+(z−xy−1)xy+1≤0 do 0≤x≤y≤z≤10≤x≤y≤z≤1)
⇒x+y+zxy+1≤2(2)⇒x+y+zxy+1≤2(2)
Từ (1);(2)⇒xyz+1+yxz+1+zxy+1≤2(1);(2)⇒xyz+1+yxz+1+zxy+1≤2 (đpcm)
\(0\le x,y,z\le1\\ CMR\\ \frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)
Cho 3 số dương 0\(\le x\le y\le z\le\)1. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)
Câu hỏi của Kaitou Kid(Kid-sama) - Toán lớp 7 . Bạn check thử cái cách "Bài này lớp 7 dư sức giải..." nhé! Mình đọc nhiều đề thi hsg để tự luyện thấy lời giải của họ như vậy (không có chỗ dấu "=" xảy ra nha,cái chỗ này mình tự thêm) .Không biết đúng hay sai.Còn mấy cách kia là mình tự làm nhé!
CMR : \(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2;\left(0\le x\le y\le z\le1\right)\)
CMR : \(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2;\left(0\le x\le y\le z\le1\right)\)
Ta có : \(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{xy+1}+\frac{y}{xy+1}+\frac{z}{xy+1}=\frac{x+y+z}{xy+1}\left(1\right)\)
Ta lại có : \(0\le x\le1;0\le y\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\left(2\right)\)
Thay (2) và (1) được : \(\frac{x+y+z}{xy+1}\le\frac{xy+1+2}{xy+1}\le\frac{2\left(xy+1\right)}{xy+1}=2\)
Vì \(0\le x\le y\le z\le1\Rightarrow x-1\le0;y-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\Rightarrow\frac{1}{xy+1}\le\frac{1}{x+y}\Rightarrow\frac{z}{xy+1}\le\frac{z}{x+y}\left(1\right)\)
Cmtt: \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{x}{y+z}\left(2\right)\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{y}{x+z}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1), (2), (3) ta có:
\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\left(4\right)\)
Mà \(\frac{x}{y+z}\le\frac{x+z}{x+y+z}\Rightarrow\frac{x}{y+z}\le\frac{2x}{x+y+z}\)
Cmtt: \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x+z}\le\frac{2y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+y}\le\frac{2z}{x+y+z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\le2\left(5\right)\)
Từ (4), (5) => đpcm
cho 3 số nguyên dương \(0\le x\le y\le z\)\(\le1\).CM/r:
\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le2\)
Ta có:
\(0\le x\le y\le z\le1\Leftrightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge0\)
\(\Rightarrow1-y-x+xy\ge0\Leftrightarrow1+xy\ge x+y\)(1)
Tiếp tục chứng minh:
\(\hept{\begin{cases}0\le x\le y\Leftrightarrow xy\ge0\\1\ge z\end{cases}}\) (2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:\(2\left(xy+1\right)\ge x+y+z\)
trở lại bài toán: \(\frac{z}{xy+1}=\frac{2z}{2\left(xy+1\right)}\le\frac{2z}{x+y+z}\)
CHứng minh tương tự: \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{2x}{x+y+z}\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{2y}{x+y+z}\end{cases}}\)
Cộng theo vế ta có đpcm
Vì \(0\le x\le y\le z\le1\Rightarrow x-1\le0;y-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\Rightarrow xy+1\ge x+y\Rightarrow\frac{1}{xy+1}\le\frac{1}{x+y}\)
\(\Rightarrow\frac{z}{xy+1}\le\frac{z}{x+y}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta được \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{yz+1}\le\frac{x}{y+z}\left(2\right)\\\frac{y}{xz+1}\le\frac{y}{z+x}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng từng vế của (1)(2)(3) ta có:
\(\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{xz+1}+\frac{z}{xy+1}\le\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\left(4\right)\)
Mà \(\frac{x}{y+z}\le\frac{x+x}{x+y+z}\Rightarrow\frac{x}{y+z}\le\frac{2x}{x+y+z}\)
Chứng minh tương tự được \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{x+z}\le\frac{2y}{x+y+z}\\\frac{z}{x+y}\le\frac{2z}{x+y+z}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\left(5\right)\)
(4)(5) => đpcm
Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z \(\le\)1.Chứng minh \(\frac{1}{xz}+\frac{1}{yz}\ge\)16
\(VT=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{4}{x+y}\right)=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(z+x+y\right)^2}\ge16\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)
Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn: x+y+z=3. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
ta có 3x + yz = x2 + xy + yz + zx = (x+y)(x+z)
do đó:
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\frac{x\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}{\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}+x\right)\left(\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x\right)}\)
= \(\frac{x\left(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x\right)}{xy+yz+zx}\le\frac{x\left(\frac{x+y+x+z}{2}-x\right)}{xy+yz+zx}\)\(\le\frac{x\left(y+z\right)}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
tương tự với 2 số hạng còn lại nên ta được: P\(\le\)1. đpcm
hi minh ket ban nhe
m.imgur.com/a/ls9dmpn
Cậu chịu khó đánh máy nhé ! Tớ dùng đt nên nhác phải đánh text lắm :(((
Cách mình ngắn hơn trên khá nhìu nha !!!!
Cho các số thực x,t,z thỏa mãn \(0< x,y,z\le1\)
CMR: \(\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)
vì 0<x,y,z\(\le\)1 nên (1-x)(1-y) >=0 <=> 1+xy >= x+y
<=> 1+z+xy >= x+y+z
<=> \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\left(1\right)\)
tương tự có \(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\left(2\right);\frac{z}{1+x+xy}\le\frac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)
cộng theo vế của (1), (2), (3) ta được
\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\)
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
\(\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\text{Σ}\frac{x}{x^2+xy+zx}=\text{Σ}\frac{x}{x\left(x+y+z\right)}=\frac{3}{x+y+z}\)
Do \(1\ge x^2\)và \(y\ge xy\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Xét biểu thức:\(\frac{x}{1+y+zx}-\frac{1}{x+y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)-\left(1+y+zx\right)}{\left(1+y+zx\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{x^2+xy-1-y}{\left(1+y+zx\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+1\right)\left(x-1\right)}{\left(1+y+zx\right)\left(x+y+z\right)}\le0\)(Đúng vì \(x,y,z>0;x\le1\))
\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}\le\frac{1}{x+y+z}\)
Tương tư, ta có: \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{1}{x+y+z}\); \(\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{1}{x+y+z}\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Cho x,y,z là ba số không âm thỏa mãn x+y+z=1
Chứng minh rằng: xy+yz+xz\(\le\frac{2}{7}+\frac{9xyz}{7}\)