Sửa đề : CMR : \(xyz\le\frac{1}{8}\)

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge2\Rightarrow\frac{1}{z+1}\ge\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)

\(=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\left(1\right)\)(bđt AM - GM)

Tương tự ta cũng có : \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(y+1\right)}}\left(2\right)\\\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\left(3\right)\end{cases}}\)

Nhân vế với vế của (1) ; (2) ; (3) laih ta được :

\(\frac{1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}\ge8\sqrt{\frac{\left(xyz\right)^2}{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)(đpcm)

Ta có: \(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=2\) (Như đề là lớn hơn hoặc bằng 2)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}=2-\frac{1}{y+1}-\frac{1}{z+1}\)

                    \(=\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)

                      \(=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)  (Vì x;y;z là ba số dương nên Áp dụng BĐT Côsi)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+1}\ge\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta được: \(\frac{1}{y+1}\ge\frac{2\sqrt{xz}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) (2)

                                                \(\frac{1}{z+1}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\) (3)

Nhân (1);(2);(3) ta có: \(\frac{1}{x+1}.\frac{1}{y+1}.\frac{1}{z+1}\ge\frac{2\sqrt{yz}}{\sqrt{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}.\frac{2\sqrt{xz}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}.\frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8\sqrt{\left(xyz\right)^2}}{\sqrt{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2}}\)

Với x;y;z > 0 ta có: \(1\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}.\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)

                     \(\Leftrightarrow1\ge8xyz\Leftrightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{x+1}=\frac{y}{y+1}\\\frac{y}{y+1}=\frac{z}{z+1}\\\frac{z}{z+1}=\frac{x}{x+1}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\x=z\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)

Vậy GTLN của xyz = 1/8 khi và chỉ khi x=y=z

P/S: Bài giải của em còn nhiều sai sót, mong mọi người thông cảm, góp ý

từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)

\(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)

Thay vào \(\sqrt{x^2+1}\) r` phân tích nhân tử áp dụng C-S là ra :3

\(VT=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)

\(=2+\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\)

Bài toán trở thành \(\frac{z}{x}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\ge\frac{x+y+z}{3\sqrt{xyz}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{z}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{xyz}}=\frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Tương tự:

\(\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{y}{y}\ge\frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{x}{x}\ge\frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow VT+3\ge3+\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{3\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{\sqrt[3]{xyz}}\)

Is it true?

áp dụng bdt cô si dạng " Rei' ta có

\(x+y+1\le3\sqrt[3]{xy}\)

từ đề bài ta suy ra  \(xy=\frac{1}{z}\Leftrightarrow\sqrt[3]{xy}=\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\)

suy ra   \(3\sqrt[3]{xy}=3\sqrt[3]{\frac{1}{z}}=\frac{3}{\sqrt[3]{z}}\)

áp dụng cho các BDT còn lại

\(3\sqrt[3]{yz}=\frac{3}{\sqrt[3]{x}};3\sqrt[3]{xz}=\frac{3}{\sqrt[3]{y}}\)

suy ra  \(Q\le\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{z}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{y}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{x}}}=\frac{\sqrt[3]{z}}{3}+\frac{\sqrt[3]{y}}{3}+\frac{\sqrt[3]{x}}{3}\) Nhân ngược lên 

vậy 

\(Q\le\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{3}\)

áp dụng BDT cô si dạng "Shinra" ta có  , đặt tử số = S

\(S=\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{x}\ge3\sqrt[3]{\sqrt[3]{xyz}}\)

có xyz=1 vậy    \(3\sqrt[3]{\sqrt[3]{xyz}}=3\)

 suy ra \(S\ge3\) ( ngược dấu loại )

cách 2 áp dụng BDT cosi dạng đặc biệt " Gedou rinne Tensei " ta được

lưu ý " Gedou Rinne Tensei" chỉ dùng lúc nguy cấp + tán gái + thể hiện  và chỉ lừa được những thằng ngu 

không nên dùng trc mặt thầy cô giáo :) .

\(\sqrt[3]{x.1.1}\le\frac{\left(x+2\right)}{3}\)

tương tự vs các BDt còn lại và đặt tử số = S ta được

\(S\le\frac{\left(x+2+y+2+z+2\right)}{3}=\frac{\left(x+y+z+6\right)}{3}=3\) 

thay \(S\le3\) vào biểu thức ta được

\(Q\le\frac{3}{3}=1\)

vây Max Q là 1 dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Đệch, nói luôn côsi 3 số cho r

Cái này ae nào ko hiểu msg tui, tui dùng điểm rơi giải đc r, dễ hiểu hơn

\(\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)

Tương tự: \(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{zx}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}}\) ; \(\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)

Nhân vế với vế:

\(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)

\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)

Đề bài ko đúng rồi