Ta có AN ⊥  NO, MP  ⊥ NO, M ∉  AN => AN // MP

Do đó AMPN là hình bình hành ó AN = MP = 2x

Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM =>  A N N E = N O E M = > N E = 2 x 2 R  

TH 1.NE = NO – OE =>  2 x 2 R = R − R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 − R R 2 − x 2  

Đặt  R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .

PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 − R t ⇔ 2 t 2 − R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = − R t = R  

Do  t ≥ 0 ⇒ t = R ⇔ R 2 − x 2 = R ⇔ x = 0 ⇒ A ≡ B  (loại)

TH 2 NE = NO + OE =>  2 x 2 R = R + R 2 − x 2 ⇔ 2 x 2 = R 2 + R R 2 − x 2  

Đặt R 2 − x 2 = t , t ≥ 0 ⇒ x 2 = R 2 − t 2 .

PTTT 2 ( R 2 − t 2 ) = R 2 + R t ⇔ 2 t 2 + R t − R 2 = 0 ⇔ 2 t = R t = − R  

Do t ≥ 0 ⇒ 2 t = R ⇔ 2 R 2 − x 2 = R ⇔ x = R 3 2 = > A O = 2 R  (loại)

Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh

Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90^o = > 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25

=> AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)

AM = AN => ∆AMN cân tại A => AMN = ANM

=> AIN = AIM => đpcm

2 A K = 1 A B + 1 A C ⇔ 2 A B . A C = A K ( A B + A C ) ⇔ A B . A C = A K . A I

(Do AB+ AC = 2AI)

∆ABN  đồng dạng với ∆ANC => AB.AC = AN²

∆AHK đồng dạng với ∆AIO => AK.AI = AH.AO

Tam giác ∆AMO vuông tại M có đường cao MH => AH.AO = AM²

=> AK.AI = AM² . Do AN = AM => AB.AC = AK.AI

a, b, c HS tự làm

d, Gợi ý: G' ÎOI mà  I G ' I O = 1 3 => G' thuộc (G'; 1 3 R)

1, Xét $(O)$ có các tiếp tuyến $AM;AN$ 

suy ra $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o;AM=AN;AO$ là phân giác $\widehat{MAN}$

nên $\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^o$

suy ra tứ giác $AMON$ nội tiếp (tổng 2 góc đối =180 độ)

2, Ta có: $AM=AN⇒ΔAMN$ cân tại $A$
có đường phân giác $AO$
$⇒AO$ đồng thời là đường trung trực tam giác $AMN$

$⇒AO⊥MN$ tại $H$

3. Xét $ΔAMO$ vuông tại $M$

$MH$ là đường cao

Nên $AH.AO=AM^2$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét $(O)$ có: Tiếp tuyến $AM$

nên $\widehat{AMB}=\widehat{MCB}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$)

hay $\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

Xét tam giác $AMB$ và tam giác $ACM$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ 

$\widehat{A}$ chung

Nên  tam giác $AMB$ và tam giác $ACM$ đồng dạng (g.g)

suy ra $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AM}{AC}$

nên $AM^2=AB.AC$

Từ đó suy ra $AH.AO=AB.AC$

A. CM BECD nội tiếp

Tứ giác BECD có \(\widehat{BEC}=90^o=\widehat{BDC}\left(gt\right)\)và cùng nhìn cạnh BC

=> BEDC nội tiếp (đpcm)

B. CM Ax là tiếp tuyến của (O)

Trên nửa mp bờ AB không chứa điểm C, kẻ tiếp tuyến Ay của (O). Ta cần cm Ay trùng với Ax.

Ta có Ax là tiếp tuyến của (O) (cách vẽ)

=> \(\widehat{yAB}=\widehat{ACB}\) ( góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung và góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{AB}\)của đường tròn (O)

mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AED}\)( góc ngoài bằng góc trong đối điện của BEDC nội tiếp )

=> \(\widehat{yAB}=\widehat{AED}\)và 2 góc này ở vị trí so le trong

=> Ay//ED

Mà Ax//ED (gt)

=> Ay trùng Ax

=> Ax là tiếp tuyến của (O)