Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
dbrby
Xem chi tiết
Nelson Charles
14 tháng 8 2019 lúc 20:32

§1. Bất đẳng thức

Cá Chinh Chẹppp
Xem chi tiết
Cuồng Song Joong Ki
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
Neet
24 tháng 8 2016 lúc 23:06

Từ dk suy ra 1/bc+1/ac+1/ab+1/c+1/b+1/a=6                                                             đặt 1/a=x;1/b=y;1/c=z→x+y+x+xy+yz+xz=6    ta phải cm x2+y2+z2>=3                              Ta có:2(x2+y2+z2)>=2(xy+yz+xz)  (1)                                                                                       (x-1)2>=0→x2>=2x-1      Tương tự :y2>=2y-1;z2>=2z-1                                       do đó :x2+y2+z2>=2(x+y+z)-3  (2)                                                                     cộng vế 1 vs 2 ta có:3(x2+y2+z2)>=2(x+y+z+xy+yz+xz)-3                                                                   <=>3(x2+y2+z2)>=2.6-3                                                                                             <=>x2+y2+z2>=3

 

Phúc Long Nguyễn
Xem chi tiết
Thắng Nguyễn
22 tháng 4 2017 lúc 12:22

Từ \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)

\(\Rightarrow\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

Cho \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\) thì ta có:

\(x^2+y^2+z^2\ge3\forall\hept{\begin{cases}x+y+z+xy+yz+xz=6\\x,y,z>0\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x^2+1\ge2\sqrt{x^2}=2x\)

\(y^2+1\ge2\sqrt{y^2}=2y\)

\(z^2+1\ge2\sqrt{z^2}=2z\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có: 

\(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)

Lại có BĐT quen thuộc \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\left(2\right)\)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta có:

\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\cdot6=12\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Tran Le Khanh Linh
16 tháng 8 2020 lúc 19:17

GT của bài toán được viết lại thành\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

áp dụng bđt Cauchy ta được

 \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab};\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ca}\)

\(\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a};\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\)

cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được \(3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+3\ge2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2\cdot6=12\)

hay \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

đẳng thức được chứng minh, dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Khách vãng lai đã xóa
Đặng Phương Nga
Xem chi tiết
Kudo Shinichi
27 tháng 10 2019 lúc 7:48

\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Đặt \(A=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

CMTT :  \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc};\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2.}{ca}\)

Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a}\)

CMTT : \(\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b};\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\)

\(3A+3\ge2.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=2.6=12\)

\(\Leftrightarrow A+1\ge4\Leftrightarrow A\ge3\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

Khách vãng lai đã xóa
Jack Dawson
27 tháng 10 2019 lúc 7:52

\(a+b+c+ab+ac+bc=6abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{1}{c}=z\end{cases}}\) \(\Rightarrow x+y+z+xy+xz+yz=6\)

Cần chứng minh \(P=x^2+y^2+z^2\ge3\)

Ta có BĐT quen thuộc : 

\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)

Cộng vế với vế : 

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\) 

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Bùi Anh Tuấn
27 tháng 10 2019 lúc 7:52

Từ \(a+b+c+ab+bc+ac=6\left(1\right)\)

Vì a,b,c dương nên ta chia hai vế của pt (1) cho abc ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=6\)

Ta có

\(\frac{1}{a^2}+1\ge\frac{2}{a}\)

\(\frac{1}{b^2}+1\ge\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{c^2}+1\ge\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

\(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)

Công theo BĐT ta có

\(3\cdot\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+1\right)\ge2\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\)

\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+1\right)\ge12\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+1\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

Dấu \("="\)xảy ra \(\Leftrightarrow a+b+c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Ánh Nguyệt Đỗ
Xem chi tiết
ahihi
Xem chi tiết
Ngô Bá Hùng
5 tháng 4 2020 lúc 20:58

\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{1}{c}=z\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x+y+z+xy+yz+zx=6\)

CM \(P=x^2+y^2+z^2\ge3\)

\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)

Cộng vế với vế

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=12\)

\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)

Vậy dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hoặc \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 4 2020 lúc 21:02

\(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=6\)

Ta lại có:

\(\frac{1}{a^2}+1+\frac{1}{b^2}+1+\frac{1}{c^2}+1-3\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-3\)

\(\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}\ge\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\)

Cộng vế với vế:

\(\frac{3}{a^2}+\frac{3}{b^2}+\frac{3}{c^2}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)-3\)

\(\Leftrightarrow3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge6.2-3=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Admin (a@olm.vn)
Xem chi tiết