Cho a,b,c >0 thỏa mãn abc=1 . Tìm GTLN của biểu thức :
\(M=\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\)
1,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc.CMR:
\(\frac{bc}{a\left(1+bc\right)}+\frac{ca}{b\left(1+ca\right)}+\frac{ab}{c\left(1+ab\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
2,Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Tìm GTLN của P= \(\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b}}\)
3,Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3.
Tìm GTLN của Q= \(2\sqrt{abc}\left(\frac{1}{\sqrt{3a^2+4b^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3b^2+4c^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{3c^2+4a^2+5}}\right)\)
4,Cho a,b,c>0.
Tìm GTLN của P= \(\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}\)
ko khó nhưng mà bn đăng từng câu 1 hộ mk mk giải giúp cho
gt <=> \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
Đặt: \(\frac{1}{a}=x;\frac{1}{b}=y;\frac{1}{c}=z\)
=> Thay vào thì \(VT=\frac{\frac{1}{xy}}{\frac{1}{z}\left(1+\frac{1}{xy}\right)}+\frac{1}{\frac{yz}{\frac{1}{x}\left(1+\frac{1}{yz}\right)}}+\frac{1}{\frac{zx}{\frac{1}{y}\left(1+\frac{1}{zx}\right)}}\)
\(VT=\frac{z}{xy+1}+\frac{x}{yz+1}+\frac{y}{zx+1}=\frac{x^2}{xyz+x}+\frac{y^2}{xyz+y}+\frac{z^2}{xyz+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+3xyz}\)
Có BĐT x, y, z > 0 thì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge9xyz\)Ta thay \(xy+yz+zx=1\)vào
=> \(x+y+z\ge9xyz=>\frac{x+y+z}{3}\ge3xyz\)
=> Từ đây thì \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\frac{x+y+z}{3}}=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\ge\frac{3}{4}.\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{3}{4}.\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
=> Ta có ĐPCM . "=" xảy ra <=> x=y=z <=> \(a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt: \(\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z\)
=> \(P=\frac{xy}{z^2+3xy}+\frac{yz}{x^2+3yz}+\frac{zx}{y^2+3zx}\)
=> \(3P=\frac{3xy}{z^2+3xy}+\frac{3yz}{x^2+3yz}+\frac{3zx}{y^2+3zx}=1-\frac{z^2}{z^2+3xy}+1-\frac{x^2}{x^2+3yz}+1-\frac{y^2}{y^2+3zx}\)
Ta sẽ CM: \(3P\le\frac{9}{4}\)<=> Cần CM: \(\frac{x^2}{x^2+3yz}+\frac{y^2}{y^2+3zx}+\frac{z^2}{z^2+3xy}\ge\frac{3}{4}\)
Có: \(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Ta sẽ CM: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(4\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\left(xy+yz+zx\right)\)
<=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Mà đây lại là 1 BĐT luôn đúng => \(3P\le\frac{9}{4}\)=> \(P\le\frac{3}{4}\)
Vậy P max \(=\frac{3}{4}\)<=> \(a=b=c\)
Bài bất hay
Cho a,b,c dương thỏa mãn ab + bc + ca + abc = 2
Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{a+1}{a^2+2a+2}+\frac{b+1}{b^2+2b+2}+\frac{c+1}{c^2+2c+2}\)
Đề thi tuyển sinh chuyên Khoa học tự nhiên-Đại Học quốc gia Hà Nội năm học 2017-2018
ta có: \(ab+bc+ca+abc=2\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=\left(1+a\right)+\left(1+b\right)+\left(1+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}=1\)
đặt \(x=\frac{1}{1+a};y=\frac{1}{1+b};z=\frac{1}{1+c}\Rightarrow xy+yz+xz=1\)
ta có \(P=\frac{a+1}{\left(a+1\right)^2+1}+\frac{b+1}{\left(b+1\right)^2+1}+\frac{c+1}{\left(c+1\right)^2+1}\)
\(=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}+\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y^2}+1}+\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z^2}+1}=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\)
\(=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}+\frac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z}{\left(z+y\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}=\frac{2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\)
mà \(9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+z+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\ge6xyz\)(đúng vì theo BĐT Cosi)
\(\Rightarrow P\le\frac{2}{\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\le\frac{9}{4\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)
(vì \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)=3\))
Vậy \(P_{max}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}-1\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2\)
Bài toán quy về 2 bài toán nhỏ hơn!
Cho các số dương ab + bc +ca = 1.
a) Tìm Max: \(M=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)
(Lời giải tại: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi. Bài làm của anh Thắng, trong lời giải có phần giống với đề bên trên.)
b) Tìm Min: \(N=a^2+28b^2+28c^2\)
Có: \(N=\frac{1}{4}\left(2a-7b-7c\right)^2+\frac{63}{4}\left(b-c\right)^2+7\left(ab+bc+ca\right)\ge7\left(ab+bc+ca\right)=7\)
Từ đó tìm được \(P\le\frac{9}{4}-7=-\frac{19}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{7}{\sqrt{15}};b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}\)
Với ab + bc + ca = 1 và áp dụng BĐT AM - GM, ta được:
\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}\)\(\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}.\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}.\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}.\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)
\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2a}{a+c}}{2}+\frac{\frac{2b}{a+b}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}}{2}+\frac{\frac{2c}{a+c}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}}{2}\)
\(=\frac{\frac{2\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{2\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{b+c}{2\left(b+c\right)}}{2}=\frac{2+2+\frac{1}{2}}{2}=\frac{9}{4}\)(*)
Mặt khác, cũng theo AM - GM, ta có:
\(\frac{a^2}{2}+\frac{49b^2}{2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{2}.\frac{49b^2}{2}}=7ab\)(1)
\(\frac{a^2}{2}+\frac{49c^2}{2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{2}.\frac{49c^2}{2}}=7ac\)(2)
\(\frac{7}{2}\left(b^2+c^2\right)\ge\frac{7}{2}.2\sqrt{b^2c^2}=7bc\)(3)
Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(\frac{2a^2+56b^2+56c^2}{2}\ge7\left(ab+bc+ca\right)=7\)
hay \(a^2+28b^2+28c^2\ge7\)(**)
Từ (*) và (**) suy ra \(P=\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{b}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{c}{\sqrt{1+c^2}}-a^2-28b^2-28c^2\)
\(\le\frac{9}{4}-7=\frac{-19}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{7}{\sqrt{15}};b=c=\frac{1}{\sqrt{15}}\)
Ta thay giả thiết vào biểu thức bài toán:
\(\frac{2a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{2a}{\sqrt{ab+bc+ca+a^2}}=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Do đó: \(P=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{2b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{2c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
Sử dụng BĐT AM-GM ta có:
\(P=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{2b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{2c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le a\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{b}{\sqrt{2y\left(x+y\right)}}\cdot\sqrt{\frac{x+y}{a+b}\cdot\frac{2y}{b+c}}+\frac{c}{\sqrt{2y\left(x+y\right)}}\sqrt{\frac{x+y}{a+c}\cdot\frac{2y}{c+b}}\)
\(\le\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+y}{2y}}\cdot\frac{b}{a+b}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2y}{x+y}}\cdot\frac{b}{b+c}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+y}{2y}}\cdot\frac{c}{a+c}\)\(+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2y}{x+y}}\cdot\frac{c}{c+b}\)
Do đó ta cần chọn x,y sao cho \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+y}{2y}}=1\\y^2+2xy=1\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{7}{\sqrt{15}};y=\frac{1}{\sqrt{15}}}\)
1/Cho a,b,c≥0 và \(a^2+b^2+c^2\le abc\). Tìm GTLN của
M=\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ba}\)
2/Cho a,b,c>0 thỏa mãn 13a+5b+12c=9. Tìm GTLN của
N=\(\frac{ab}{2a+b}+\frac{3bc}{2b+c}+\frac{6ca}{2c+a}\)
3/Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của
P=\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\)
4/Cho các số thực a,b,c thỏa mãn ab+7bc+ca=188.
Tìm GTNN của P=\(5a^2+11b^2+5c^2\)
Ai giải được câu nào giải hộ mình vs ạ!!!
4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)
\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)
Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)
Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)
@Cool Kid:
Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)
Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)
í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn
Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN của biểu thức:\(P=3\left(ab+bc+ca\right)+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2+\frac{1}{8}\left(c-a\right)^2\)
1. Với các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2+2abc=1, tìm GTLN của biểu thức P=ab+bc+ca-abc.
2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn các điều kiện (a+c)(b+c)=4c2. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P=\(\frac{a}{b+3c}+\frac{b}{a+3c}+\frac{ab}{bc+ca}\)
Cho a,b,c là các số thực dương:
Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2abc+1≥2(ab+bc+ca)
Ta thấy trong ba số thực dương a;b;ca;b;c luôn tồn tại hai số cùng lớn hơn hay bằng 11 hoặc nhỏ hơn hay bằng 11. Giả sử đó là bb và cc.
Khi đó ta có: (b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1(b−1)(c−1)≥0⇔bc≥b+c−1 suy ra 2abc≥2ab+2ac−2a2abc≥2ab+2ac−2a
Do đó, a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1a2+b2+c2+2abc+1≥a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1
Nên bây giờ ta chỉ cần chứng minh: a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)a2+b2+c2+2ab+2ac−2a+1≥2(ab+bc+ca)
⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0⇔(a2−2a+1)+(b2+c2−2bc)≥0⇔(a−1)2+(b−c)2≥0 (đúng)
Bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1a=b=c=1.
cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1 Tìm GTLN của
\(Q=\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Với ab + bc + ca = 1 thì:
\(Q=\frac{2a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}=\)\(\frac{2a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\frac{2a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{2a}{a+b}.\frac{2a}{a+c}}+\sqrt{\frac{2b}{a+b}.\frac{b}{2\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{2c}{a+c}.\frac{c}{2\left(b+c\right)}}\)
\(\le\frac{\frac{2a}{a+b}+\frac{2a}{a+c}}{2}+\frac{\frac{2b}{a+b}+\frac{b}{2\left(b+c\right)}}{2}+\frac{\frac{2c}{a+c}+\frac{c}{2\left(b+c\right)}}{2}\)(Theo BĐT Cô - si)
\(=\frac{\frac{2\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{b+c}{2\left(b+c\right)}+\frac{2\left(a+c\right)}{a+c}}{2}=\frac{2+\frac{1}{2}+2}{2}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
\(Q=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\) chứ?
Dấu "=" của mình sai rồi thì phải, tìm lại giúp mình nha!
Cho a,b,c > 0 thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Tìm giá trị nhỉ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{abc}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2\le abc\). Tìm GTLN của biểu thức: A=\(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ba}\)