Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(BĐT Svacxo)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow x+y\ge8\)(1)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\ge4\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+\sqrt{xy}+y\ge16\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge16\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge4\)

Muốn cô k cũng dễ lắm. Tuy nhiên cái cô muốn là các em làm được bài trên OLM sẽ nhìn ra được những lỗi sai của mình thì để lần sau trong các cuộc thi HSG hay các bài kiểm tra trên lớp sẽ không bị mắc phải những cái lỗi tương tự.

bài phía dưới: Từ (1) , (2) => \(x+2\sqrt{xy}+y\ge16\) nha

Bỏ qua lỗi này. Cái quan trọng là khi tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất em cần phải biết nó đạt tại x =?, y=?.

nếu bỏ qua phần này sẽ bị trừ điểm rất nặng. :)

Em cảm ơn cô ạ

tích cho t nha

làm đi r le duy manh

b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz) 

\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky) 

\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)

\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3 

Áp dụng bđt bu nhi a cốp xki : 

\(\left(2x^2+y^2\right)\left(\left(\sqrt{2}\right)^2+\left(1\right)^2\right)\ge\left(\sqrt{2}.\sqrt{2}x+y.1\right)^2=\left(2x+y\right)^2\)

=> \(\sqrt{2x^2+y^2}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(2x+y\right)\) => \(\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2x+y}{xy}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{x}\right)\)

CM tương tự với hai cái còn lại 

=> \(P\ge\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot3\cdot\sqrt{3}=3\)

Dấu '' = '' xảy ra khi x = y =z = căn 3 

bn tìm đề thi hsg tỉnh thanh hóa lớp 9 năm nào đó là thấy

bài này dài,ngại làm

đặt là được

Câu hỏi của Hoàng Gia Anh Vũ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Theo đề bài, ta có:

\(x^3+y^3=x^2-xy+y^2\)

hay \(\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-xy+y^2=0\\x+y=1\end{cases}}\)

+ Với \(x^2-xy+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=\frac{5}{2}\)

+ với \(x+y=1\Rightarrow0\le x,y\le1\Rightarrow P\le\frac{1+\sqrt{1}}{2+\sqrt{0}}+\frac{2+\sqrt{1}}{1+\sqrt{0}}=4\)

Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và \(P\ge\frac{1+\sqrt{0}}{2+\sqrt{1}}+\frac{2+\sqrt{0}}{1+\sqrt{1}}=\frac{4}{3}\)

Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1

Vậy max P=4 và min P =4/3

=0,5

Vì có gtnn khi xy=yz=zx=1:9 => x=y=z=1:3

Thay số và tính được gtnn là A=0.5

đây nhé Xem câu hỏi

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\\\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)

\(\Rightarrow1\le x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\le\frac{x+y+z}{2}\)( 1 )

Xét \(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số 

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

 \(\Rightarrow\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\ge\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của  \(A=\frac{1}{2}\)