\(4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\)

Ta có:

\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x\right)^2+\left(3x^2+4x+4\right)>\left(2x^2+x\right)^2\)

\(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+2\right)^2-5x^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2x^2+x\right)^2< \left(2y\right)^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+1\right)^2\\\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+1\right)^2\\4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=\left(2x^2+x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-2x-3=0\\5x^2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=0\\x=3\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=-1\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\)

- Với \(x=0\Rightarrow y^2=1\Rightarrow y=\pm1\)

- Với \(x=3\Rightarrow y^2=121\Rightarrow y=\pm11\)

Nếu \(x\ge3,y\ge3,z\ge3\)thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1< 2\)

Do vậy trong ba số x,y,z tồn tại ít nhất một số nhỏ hơn 3

Gọi \(x\le y\) , \(x\le z\) thì x < 3 => x = 1 hoặc x = 2

Nếu x = 1 thì y = 2 và z = 2

Nếu x = 2 thì y = 2 và z = 2 không thỏa

Vậy (x,y,z) = (1;2;2) và các hoán vị 

pt <=> \(4x^4+4x^2+4=4y^2\)

<=> \(4x^2+4x+1+3=4y^2\)

<=> \(\left(2y\right)^2-\left(2x+1\right)^2=3\)

<=> \(\left(2y+2x+1\right)\left(2y-2x-1\right)=3=3.1=-1.-3=1.3=-3.-1\)

Em tự làm tiếp nhé!