Đề bài sai bạn

Biểu thức \(\left|\dfrac{x_1+x_2+4}{x_1+x_2}\right|=\left|1+\dfrac{1}{m}\right|\)  này ko tồn tại max, chỉ tồn tại min

pt sai 

Để pt có 2 nghiệm pb khác 0:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3\left(m^2-4m+1\right)>0\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+4m+1>0\\m^2-4m+1\ne0\end{matrix}\right.\) (1)

Theo hệ thức Viet:  \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=0\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}=0\\\dfrac{m^2-4m+1}{3}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\\m=5\end{matrix}\right.\) 

Thế vào hệ điều kiện (1) kiểm tra chỉ có \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=5\end{matrix}\right.\) thỏa mãn

Cách ngắn ngọn nhất:

\(x^2-2\left(m+1\right)x+4m=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-2mx+4m=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)-2m\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-2m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=2m\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm là \(x=2;x=2m\). Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm là x₁, x₂ nên ta chia làm 2 trường hợp:

TH₁: \(x_1=2;x_2=2m\).

Có \(2x_1-x_2=-2\Rightarrow2.2-2m=-2\Leftrightarrow m=3\)

TH₂: \(x_1=2m;x_2=2\)

Có \(2x_1-x_2=-2\Rightarrow2.\left(2m\right)-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Vậy m=0 hay m=3

a, x = 3 , x= -1

b, m = 3 , m = 1

Để pt có hai nghiệm pb <=>\(\Delta>0\)<=> \(4m^2-16m+16>0\) <=>\(4\left(m-2\right)^2>0\left(lđ\right)\)

=> Pt luôn có hai nghiệm pb

Do \(x_1\) là một nghiệm của pt => \(x_1^2-2mx_1+4m-4=0\) <=> \(x_1^2=2mx_1-4m+4\)

Có \(x_1^2+2mx_2-8m+5=0\)

\(\Leftrightarrow2mx_1+2mx_2-4m+4-8m+5=0\)

\(\Leftrightarrow2m\left(x_1+x_2\right)-12m+9=0\)

\(\Leftrightarrow2m.2m-12m+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

Vậy...

\(\Delta'=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\Rightarrow m\ne2\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=4m-4\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2+2mx_2-8m+5=0\Rightarrow x_1^2+\left(x_1+x_2\right)x_2-8m+5=0\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_1x_2-8m+5=0\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2-8m+5=0\)

\(\Rightarrow4m^2-4m+4-8m+5=0\Rightarrow4m^2-12m+9=0\)

\(\Rightarrow\left(2m-3\right)^2=0\Rightarrow m=\dfrac{3}{2}\)